Hyperfläche/Hauptkrümmungen/Weingartenabbildung/Einführung/Textabschnitt
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Wir definieren verschiedene Krümmungskonzepte unter Bezug auf die Weingartenabbildung
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung
eine Hauptkrümmung von in .
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung
eine Hauptkrümmungsrichtung von in .
Statt Hauptkrümmungsrichtung sagt man auch Hauptkrümmungsvektor, von Hauptkrümmungsrichtungen spricht man insbesondere bei Eigenvektoren der Norm . Aufgrund von Fakt besitzt die Weingartenabbildung eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, also von Hauptkrümmungsrichtungen. Im Allgemeinen wählt man eine Orthonormalbasis aus Hauptkrümmungsrichtungen. Die Hauptkrümmungen sind reelle Zahlen, die man häufig der Größe nach ordnet und als
notiert, man spricht von dem Hauptkrümmungstupel. Dabei wird ein so oft angeführt, wie es die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also die geometrische Vielfachheit, angibt.
Gemäß Fakt erhält man die Hauptkrümmungen, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Weingartenabbildung bestimmt, und die zugehörigen Eigenräume erhält man mit Fakt.
Es seien reelle Zahlen, wir betrachten die Funktion
Gemäß Fakt wird die Weingartenabbildung des Graphen zu im Nullpunkt durch die Hesse-Matrix von beschrieben, also durch
Die Hauptkrümmungen des Graphen im Nullpunkt sind also und die Hauptkrümmungsrichtungen sind durch die Standardvektoren gegeben. Insbesondere taucht jedes reelle Tupel als Hauptkrümmungstupel einer differenzierbaren Hyperfläche auf.