Integralgleichung/Fredholm/Zweiter Art/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den Vektorraum ${}X$ aller stetigen Kurven von ${}[a,b]$ nach ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dieser ist mit der Maximumsnorm ein metrischer Raum und nach Fakt vollständig. Es sei ${}\lambda$ mit der beschriebenen Eigenschaft fixiert. Die zum Kern gehörige Transformation

${}(T_{K}(x))(s)=\lambda \int _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt+g(s)\,$

ist eine Abbildung

$X\longrightarrow X,\,x\longmapsto T(x).$

Die Wohldefiniertheit beruht auf der Existenz der bestimmten Integrale für stetige Funktionen und auf der Stetigkeit des Integrals, siehe Fakt. Eine Lösung der Integralgleichung ist offenbar ein Fixpunkt der Transformation, wir werden also den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. Zu Kurven ${}x_{1},x_{2}\in X$ ist

${}T(x_{1})(s)-T(x_{2})(s)=\lambda \int _{a}^{b}K(s,t)(x_{1}(s)-x_{2}(s))dt\,$

und dies ist durch

$\vert {\lambda }\vert \cdot M\cdot (b-a)\cdot \Vert {x_{1}-x_{2}}\Vert$

beschränkt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\Vert {T(x_{1})-T(x_{2})}\Vert &=\operatorname {max} \left(\Vert {T(x_{1})(s)-T(x_{2})(s)}\Vert {|}s\in [a,b]\right)\\&\leq \vert {\lambda }\vert \cdot M\cdot (b-a)\cdot \Vert {x_{1}-x_{2}}\Vert \end{aligned}}$

und nach Voraussetzung ist ${}\vert {\lambda }\vert \cdot M\cdot (b-a)<1$, also ein Kontraktionsfaktor.

Zur bewiesenen Aussage