Integration auf Produktraum/Fubini/Textabschnitt
Lemma
Es seien und -endliche Maßräume und sei
eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
Beweis
Lemma
Es seien und -endliche Maßräume und sei
eine messbare Funktion.
Dann ist genau dann integrierbar, wenn
endlich ist.
Beweis
Wir kommen nun zum Satz von Fubini.
Satz
Es seien und -endliche Maßräume und sei
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
und
fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
Beweis
Nach Voraussetzung und nach
Fakt
ist die Funktion
integrierbar.
Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine
Nullmenge
gibt mit
für
.
Daher sind
nach Fakt
für
die Integrale definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile
und .
Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man durch ersetzen. Wir schreiben
und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, so dass dies gleich
ist.