Integration auf Produktraum/Fubini/Textabschnitt

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes ${}x\in M$ ist die Funktion

   $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto f(x,y),$

   und für jedes ${}y\in N$ ist die Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto f(x,y),$

   messbar.

2. Die Funktion

   $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

   und die Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

   sind messbar.

3. Es gilt

   ${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,.$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen

$M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$

für jedes ${}y\in N$.
(2) folgt aus Fakt angewendet auf

${}S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,$

da ${}(S(f))(x)$ der Subgraph von ${}f(x,-)$ und ${}\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))$ ist.
(3). Nach Fakt, angewendet auf das Produkt ${}M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})$, ist

${}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}$

Da man die Rollen von ${}M$ und ${}N$ vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.

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Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann integrierbar, wenn

$\int _{M}{\left(\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x){\text{ oder }}\int _{N}{\left(\int _{M}\vert {f(x,y)}\vert \,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)$

endlich ist.

Beweis

Die Integrierbarkeit von ${}f$ ist nach Fakt äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von ${}\int _{M\times N}\vert {f}\vert \,d(\mu \otimes \nu )$ bedeutet. Die Aussage folgt daher aus Fakt.

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Wir kommen nun zum Satz von Fubini.

Satz

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine integrierbare Funktion.

Dann sind die beiden Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

und

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,$

Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt ist die Funktion ${}x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral ${}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge ${}Z\subseteq M$ gibt mit ${}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty$ für ${}x\notin Z$. Daher sind nach Fakt für ${}x\notin Z$ die Integrale ${}\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)$ definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile ${}f_{+}(x,y)$ und ${}f_{-}(x,y)$.

Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da ${}Z\times N$ eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man ${}M$ durch ${}M\setminus Z$ ersetzen. Wir schreiben

$\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,$

und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, sodass dies gleich

${}{\begin{aligned}&=\int _{M}{\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)-\int _{M}{\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}$

ist.

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