Integrationstheorie/Schwerpunkt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer kompakten Teilmenge (einem Körper) ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einer stetigen Massenverteilung

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

mit dem Gesamtvolumen ${}M=\int _{T}fd\lambda ^{n}$ (das als positiv vorausgesetzt sei) nennt man den Punkt ${}S=(s_{1},\ldots ,s_{n})$ mit

${}s_{i}:={\frac {1}{M}}\int _{T}x_{i}fd\lambda ^{n}={\frac {1}{M}}\int _{T}x_{i}\cdot f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}\,$

den Schwerpunkt von ${}T$ (bezüglich der Massenverteilung ${}f$).

Um die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes zu erhalten muss man also über das Produkt aus ${}i$-ter Koordinatenfunktion und der Massenverteilung integrieren. Wenn die Massenverteilung (oder Massendichte oder Gewichtsfunktion) ${}f$ konstant (also der Körper homogen ist), so nennt man den Schwerpunkt auch den geometrischen Schwerpunkt. Wenn keine Massenverteilung angegeben wird, so meint man stets den geometrischen Schwerpunkt.

Beispiel

Wir berechnen den Schwerpunkt der oberen Einheitshalbkugel, also von

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1,\,z\geq 0\right\}}\,.$

Die ${}x$- und die ${}y$-Koordinate muss aus Symmetriegründen natürlich ${}0$ sein. Für die ${}z$-Koordinate berechnen wir

${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}zdzdydx&=\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)}dydx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\left({\left(1-x^{2}\right)}y-{\frac {1}{3}}y^{3}\right)}{|}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}-{\frac {1}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}-{\left(-{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}+{\frac {1}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}dx\\&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\frac {4}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&={\frac {2}{3}}\int _{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)}{\sqrt {1-x^{2}}}dx.\,\end{aligned}}$

Wir führen die Substitution mit ${}x=\sin u$ durch und erhalten (ohne den Vorfaktor)

${}{\begin{aligned}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}\cos u\cdot \cos udu&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}{\left(1-\sin ^{2}u\right)}du\\&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}1-2\sin ^{2}u+\sin ^{4}udu\\&=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1-2\sin ^{2}u+\sin ^{4}udu.\end{aligned}}$

Unter Verwendung von Beispiel ist dieses Integral gleich

${}2{\left({\frac {\pi }{2}}-2{\frac {\pi }{4}}+{\frac {3}{8}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)}={\frac {3}{8}}\pi \,.$

Das Volumen der halben Einheitskugel ist nach Beispiel gleich ${}{\frac {2}{3}}\pi$. Daher ist die ${}z$-Koordinate des Schwerpunkts gleich

${}{\frac {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{8}}\pi }{{\frac {2}{3}}\pi }}={\frac {3}{8}}\,.$