Invariantentheorie/Reflektionsgruppe und Polynomring/Textabschnitt

Definition

Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},$

wobei ${}\zeta \neq 1$ eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.

Eine Pseudoreflektion besitzt also eine Hyperebene (einen ${}(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum), auf der sie fix ist (der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$) und einen weiteren dazu linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert ${}\zeta$. Die Ordnung der Einheitswurzel ${}\zeta$ bestimmt auch die Ordnung der Pseudoreflektion. Das Inverse einer Pseudoreflektion ist wieder eine Pseudoreflektion.

Definition

Eine endliche Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.

Man beachte, dass dies keine Eigenschaft der (abstrakten) Gruppe ${}G$ ist, sondern eine Eigenschaft der Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$. In einer Reflektionsgruppe kann man jedes Element ${}\tau$ als ein Produkt ${}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}$ mit Pseudoreflektionen ${}\sigma _{j}$ schreiben.

Die Bedeutung von Reflektionsgruppen in der Invariantentheorie kommt im folgenden wichtigen Satz, dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, zum Ausdruck.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear und treu auf dem ${}K$-Vektorraum ${}V$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist eine Reflektionsgruppe.
2. Der Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ ist (isomorph zu einem) ein Polynomring (in ${}n$ Variablen).

Aus Dimensionsgründen ist klar, dass wenn der Invariantenring ein Polynomring ist, dieser ${}n$ Variablen besitzt. Der Beweis dieses Satzes benutzt verschiedene Lemmata und verwendet die Theorie der Hilbert-Reihen. Hierbei werden verschiedene elementare Hilfsmittel aus der Theorie der Potenzreihen verwendet.

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}\sigma \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Pseudoreflektion. Es sei ${}H_{\sigma }$ der Fixraum zu ${}\sigma$ und ${}L_{\sigma }$ eine Linearform ${}\neq 0$, die auf ${}H_{\sigma }$ verschwindet.

Dann ist ${}L_{\sigma }$ für jedes Polynom ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Teiler von ${}f\sigma -f$.

Beweis

Für ${}v\in H_{\sigma }$ ist

${}(f\sigma -f)(v)=f(\sigma v)-f(v)=f(v)-f(v)=0\,.$

Das Polynom ${}f\sigma -f$ verschwindet also auf der Nullstellenmenge von ${}L_{\sigma }$. Wir können ${}L_{\sigma }$ zu einer Variablenmenge ${}L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n}$ ergänzen und

${}f\sigma -f=P(L_{\sigma },L_{2},\ldots ,L_{n})L_{\sigma }+Q(L_{2},\ldots ,L_{n})\,$

schreiben. Das Polynom ${}Q$ verschwindet auf ${}H_{\sigma }$ und ist somit die Nullfunktion, also muss es auch das Nullpolynom sein, da der Körper unendlich ist.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Reflektionsgruppe. Es sei ${}I_{G}$ das Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, das durch die homogenen Invarianten von einem positiven Grad erzeugt wird. Es gelte

${}g_{1}h_{1}+\cdots +g_{m}h_{m}=0\,,$

wobei die ${}h_{1},\ldots ,h_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ homogene Polynome und die ${}g_{1},\ldots ,g_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ invariante Polynome seien.

Dann ist ${}h_{1}\in I_{G}$ oder ${}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$.

Beweis

Wir führen Induktion über den Grad von ${}h_{1}$. Bei ${}h_{1}=0$ gehört natürlich ${}h_{1}$ zu ${}I_{G}$. Für ${}h_{1}\neq 0$ und ${}\operatorname {grad} \,(h_{i})=0$ ist ${}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$. Es sei also ${}\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1$ und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei ${}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})$ vorausgesetzt und es sei ${}\sigma \in G$ eine Pseudoreflektion. Dann ist

${}\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.$

Nach Fakt kann man

${}h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,$

schreiben, wobei ${}L_{\sigma }$ eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ${}\sigma$ ist und ${}{\widetilde {h}}_{i}$ einen kleineren Grad als ${}h_{i}$ besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

${}0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.$

Daher ist die Summe rechts gleich ${}0$ und nach Induktionsvoraussetzung ist ${}{\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}$, also auch ${}h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}$.

Es sei nun ${}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G$ ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

${}{\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}$

Da ${}h_{1}\sigma _{i}-h_{1}$ zu ${}I_{G}$ gehört und ${}I_{G}$ unter ${}G$ invariant ist, gehört auch ${}h_{1}\tau -h_{1}$ zu ${}I_{G}$. Mit dem Reynolds-Operator ${}\rho$ ist

${}\rho (h_{1})-h_{1}={\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}h_{1}\tau \right)}-h_{1}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}{\left(h_{1}\tau -h_{1}\right)}\,.$

Dies gehört zu ${}I_{G}$ und wegen ${}\rho (h_{1})\in I_{G}$ ist auch ${}h_{1}\in I_{G}$.

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