Körper/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ausgeschrieben bedeutet dies:

Definition

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

Die in Fakt beschriebenen Eigenschaften (und Konventionen) für Ringe gelten insbesondere für Körper. Unter Verwendung des Gruppenbegriffs kann man auch sagen, dass ein Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und zwei fixierten Elementen ${}0\neq 1$ ist, derart, dass ${}(K,+,0)$ und ${}(K\setminus \{0\},\cdot ,1)$ jeweils kommutative Gruppen sind und dass das Distributivgesetz gilt.

Zu einem Element ${}x\in K$ und einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ definiert man ${}nx$ als die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst. Dabei setzt man ${}0x=0$. Für

${}n1_{K}=\underbrace {1_{K}+1_{K}+\cdots +1_{K}} _{n{\text{ Summanden}}}\,$

schreibt man auch einfach ${}n_{K}$ oder ${}n$. Man findet also jede natürliche Zahl in jedem Körper (auch in jedem Ring) wieder, allerdings kann es sein, dass diese Zuordnung nicht injektiv ist und beispielsweise ${}2=0$ oder ${}7=0$ in einem Körper gilt (siehe die Beispiele weiter unten). Für negative ganze Zahlen ${}n$ setzt man

${}nx=(-n)(-x)\,,$

wobei ${}-x$ das Negative von ${}x$ in dem Körper ist. Aufgrund von Aufgabe passt alles zusammen. Z.B. kann man ${}(-n)(-x)$ wie eben als die ${}-n$-fache Summe von ${}-x$ mit sich selbst verstehen oder als Produkt aus ${}-x$ und ${}-n$, letzteres als die ${}-n$-fache Summe von ${}1_{K}$ mit sich selbst verstanden.

Der Graph zur reellen Funktion, die einer Zahl ${}a\neq 0$ ihr Inverses ${}a^{-1}$ zuordnet. Im Nullpunkt ist die Abbildung nicht definiert und auch nicht stetig fortsetzbar.

Das zu ${}a\in K$, ${}a\neq 0$, nach Fakt (hier lohnt sich schon der Gruppenbegriff) eindeutig bestimmte Element ${}z$ mit ${}az=1$ nennt man das Inverse von ${}a$ und bezeichnet es mit ${}a^{-1}$.

Für ${}a,b\in K$, ${}b\neq 0$, schreibt man auch abkürzend

${}a/b:={\frac {a}{b}}:=ab^{-1}\,.$

Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck.

Zu einem Körperelement ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$ wird die ${}n$-te Potenz, geschrieben ${}a^{n}$, als das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst definiert (${}n$ gibt die Anzahl der Faktoren an). Man setzt weiterhin ${}a^{0}=1$, und bei ${}a\neq 0$ und einer negativen ganzen Zahl ${}n$ wird der Ausdruck ${}a^{n}$ als ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-n}$ interpretiert.

Ein „kurioser“ Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten.

Beispiel

Wir suchen nach einer Körperstruktur auf der Menge ${}\{0,1\}$. Wenn ${}0$ das neutrale Element einer Addition und ${}1$ das neutrale Element einer Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da ${}1+1=0$ sein muss, da ${}1$ ein inverses Element bezüglich der Addition besitzen muss, und da in jedem Körper nach Fakt ${}0\cdot 0=0$ gelten muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus.

${}+$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}1$
${}1$	${}1$	${}0$

und

${}\cdot$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$

Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen Körper handelt.

Beispiel

Auf der Menge ${}\{0,1,2,3,4,5,6\}$ (mit sieben Elementen) kann man durch die Festlegungen

${}+$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}0$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}1$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}0$
${}2$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}0$	${}1$
${}3$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}0$	${}1$	${}2$
${}4$	${}4$	${}5$	${}6$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$
${}5$	${}5$	${}6$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$
${}6$	${}6$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}2$	${}0$	${}2$	${}4$	${}6$	${}1$	${}3$	${}5$
${}3$	${}0$	${}3$	${}6$	${}2$	${}5$	${}1$	${}4$
${}4$	${}0$	${}4$	${}1$	${}5$	${}2$	${}6$	${}3$
${}5$	${}0$	${}5$	${}3$	${}1$	${}6$	${}4$	${}2$
${}6$	${}0$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$

ebenfalls einen Körper machen. Ohne weitere Theorie ist der Nachweis der Körpereigenschaften sehr aufwändig.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.

Beweis

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Fakt  (1)

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

$\Box$