Körpererweiterung/Diskriminante/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ Elemente in ${}L$ . Dann wird die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ durch

{}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{i,j}\right)\,

definiert.

Die Produkte ${}b_{i}b_{j}$ , ${}1\leq i,j\leq n$ , sind dabei Elemente in ${}L$ , von denen man jeweils die Spur nimmt, die in ${}K$ liegt. Man erhält also eine quadratische ${}n\times n$ -Matrix über ${}K$ . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein.

Beispiel

Wir betrachten eine quadratische Gleichung ${}X^{2}+pX+q=0$ und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige quadratische Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{2}+pX+q\right)}$ . Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis ${}1,x$ . Wir müssen also die Spuren der Elemente ${}1,x,x^{2}=-px-q$ bestimmen. Die Matrizen dieser Elemente sind

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0&-q\\1&-p\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}-q&pq\\-p&p^{2}-q\end{pmatrix}}

und ihre Spuren sind ${}2,\,-p$ und ${}p^{2}-2q$ . Somit ist die Diskriminante gleich

{}\triangle (1,x)=\det {\begin{pmatrix}2&-p\\-p&p^{2}-2q\end{pmatrix}}=2{\left(p^{2}-2q\right)}-p^{2}=p^{2}-4q\,.

Beispiel

Wir betrachten die kubische Gleichung

{}x^{3}+px+q=0\,

und (unter der Voraussetzung, dass das Polynom irreduzibel ist) die zugehörige kubische Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{3}+pX+q\right)}$ . Wir bestimmen die Diskriminante dieser Erweiterung zur Basis ${}1,x,x^{2}$ . Die Matrix zu ${}x$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&0&-q\\1&0&-p\\0&1&0\end{pmatrix}}$ , die Matrix zu ${}x^{2}$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&-q&0\\0&-p&-q\\1&0&-p\end{pmatrix}}$ , die Matrix zu ${}x^{3}=-px-q$ ist ${}{\begin{pmatrix}-q&0&pq\\-p&-q&p^{2}\\0&-p&-q\end{pmatrix}}$ , die Matrix zu ${}x^{4}=-px^{2}-qx$ ist ${}{\begin{pmatrix}0&pq&q^{2}\\-q&p^{2}&2pq\\-p&-q&p^{2}\end{pmatrix}}$ . Die Diskriminante ist daher die Determinante der Matrix

{\begin{pmatrix}3&0&-2p\\0&-2p&-3q\\-2p&-3q&2p^{2}\end{pmatrix}},

also gleich

{}3{\left(-4p^{3}-9q^{2}\right)}-2p(-4p^{2})=-4p^{3}-27q^{2}\,.

Dies ist die Zahl ${}D$ aus Fakt.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ und ${}c_{1},\ldots ,c_{n}$ ${}K$ -Basen von ${}L$ . Der Basiswechsel werde durch ${}c=Tb$ mit der Übergangsmatrix ${}T={\left(t_{ij}\right)}_{ij}$ beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung