Körpererweiterung/Diskriminante/Zahlentheoretisch orientiert/Einführung/Textabschnitt
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch
definiert.
Die Produkte , , sind dabei Elemente in , von denen man jeweils die Spur nimmt, die in liegt. Man erhält also eine quadratische -Matrix über . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien und -Basen von . Der Basiswechsel werde durch mit der Übergangsmatrix beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen . Damit gilt
Wir schreiben und . Wegen der -Linearität der Spur gilt
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen , und als
und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.
Es sei eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Dann ist
Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik .
Es sei angenommen, dass die Diskriminante ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung besitzt. Es ist also
für alle . Sei . Dann ist für jedes
Da eine Einheit in ist, ist auch , , eine -Basis von und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik folgt dies sofort aus Fakt (2).