Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Textabschnitt

Proposition

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Zuordnung

   $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}):=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}),$

   ist (wohldefiniert und) stetig.

2. Es ist ${}(\varphi ^{*})^{-1}(D({\mathfrak {a}}))=D({\mathfrak {a}}S)$ für jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.
3. Für einen weiteren Ringhomomorphismus

   $\psi \colon S\longrightarrow T$

   gilt ${}(\psi \circ \varphi )^{*}=\varphi ^{*}\circ \psi ^{*}$.

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ist ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})\in V({\mathfrak {a}})$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {q}})$ ist. Dies ist äquivalent zu ${}\varphi ({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {q}}$ und ebenso zu ${}{\mathfrak {a}}S\subseteq {\mathfrak {q}}$. (3) ist klar.

$\Box$

Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt Spektrumsabbildung (zu dem gegebenen Ringhomomorphismus). Bei einem Unterring ${}R\subseteq S$ geht es einfach um die Zuordnung ${}{\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\cap R$. In diesem Fall spricht man auch von „Runterschneiden“.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ und der Restklassenabbildung

   $q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}$

   ist die Spektrumsabbildung

   $q^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild ${}V({\mathfrak {a}})$ ist.

2. Zu einem multiplikativen System ${}M\subseteq R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{M}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{M}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von ${}R$, die zu ${}M$ disjunkt sind.

3. Zu ${}f\in R$ ist die zur kanonischen Abbildung

   $\iota \colon R\longrightarrow R_{f}$

   gehörige Abbildung

   $\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

   eine offene Einbettung, deren Bild gleich ${}D(f)$ ist.

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe: Die Primideale in ${}R/{\mathfrak {a}}$ entsprechen über ${}{\mathfrak {p}}\mapsto q^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}$ den Primidealen von ${}R$, die ${}{\mathfrak {a}}$ enthalten. Die angegebene Abbildung ist also bijektiv und hat das beschriebene Bild. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {b}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R/{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$, wenn

${}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}=q^{-1}({\mathfrak {b}})\subseteq {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {a}}\,$

gilt. Also ist das Bild von ${}V({\mathfrak {b}})$ gleich ${}V({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})$ und damit abgeschlossen.
Für (2) siehe Aufgabe.
(3). Da für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und ein Element ${}f\in R$ die Beziehung ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ genau dann gilt, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ zum multiplikativen System ${}{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ disjunkt ist, folgt aus Teil (2), dass die Abbildung injektiv ist und dass ihr Bild gleich ${}D(f)$ ist. Das gleiche Argument, angewendet auf ${}g\in R$ bzw. ${}{\frac {g}{1}}\in R_{f}$ zeigt, dass das Bild von ${}D(g)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R_{f}\right)}$ gleich ${}D(fg)$ und damit offen ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ mit ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$.

Beweis

Aufgrund von Fakt müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subseteq S$ gilt ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ genau dann, wenn sowohl ${}\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$ als auch ${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$ gilt. Die erste Bedingung ist zu ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ und die zweite Bedingung ist zu

${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$

äquivalent.

$\Box$

Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes. Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {m}}S\right)}$ ist, da in diesem Fall aus ${}{\mathfrak {m}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$ sofort ${}{\mathfrak {m}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich ${}R$ und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch ${}\operatorname {Spek} {\left(S_{\varphi (R\setminus \{0\})}\right)}$ beschrieben.

Korollar

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ genau dann leer, wenn ${}{\mathfrak {q}}S\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\neq \emptyset$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt  (6).

$\Box$