Es sei zuerst kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus
Fakt.
Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung
(siehe
Aufgabe)
-
aus
Fakt
und aus
Fakt.
Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt
und ein
fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von gemäß
Fakt
gibt es endlich viele Funktionen
derart, dass
-
ist. Für diese endlich vielen Funktionen finden wir eine gemeinsame offene Umgebung
mit
-
für alle
und alle
.
Für ein beliebiges
ist
für ein und daher ist
(für
)
Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß
Fakt.
Nach
Aufgabe
ist wegen der Abgeschlossenheit von in auch vollständig und nach
Fakt
ist
total beschränkt.