Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Satz von Riemann-Roch. Er stiftet eine vom Geschlecht abhängige Beziehung zwischen dem Grad eines Divisors bzw. einer invertierbaren Garbe auf einer kompakten riemannschen Fläche und den Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie der Garbe. Insbesondere erlaubt er, die Existenz von globalen Schnitten unter gewissen Gradbedingungen nachzuweisen. Wir verwenden die abkürzenden Schreibweisen

${}h^{0}(X,{\mathcal {F}})=\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\right)}=\dim _{\mathbb {C} }{\left(H^{0}(X,{\mathcal {F}})\right)}\,$

und

${}h^{1}(X,{\mathcal {F}})=\dim _{\mathbb {C} }{\left(H^{1}(X,{\mathcal {F}})\right)}\,.$

Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$.

Dann ist

${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig, da diese zum trivialen Divisor ${}0$ gehört und da

${}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1\,$

nach Fakt ist.

Zu einem Punkt ${}P\in X$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0,$

wobei ${}{\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{X}(-P)$ die invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt ${}P$ ist und rechts ${}{\mathbb {C} }_{P}$ die eindimensionale Wolkenkratzergarbe mit Träger ${}P$ bezeichnet, siehe Fakt. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ ergibt

$0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\otimes {\mathcal {L}}={\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0.$

Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen den beiden invertierbaren Garben ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ und ${}{\mathcal {L}}$, die sich um den Punkt ${}P$ „unterscheiden“. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow 0,$

da ${}h^{0}(X,{\mathbb {C} }_{P})=1$ und ${}h^{1}(X,{\mathbb {C} }_{P})=0$ gilt, da ${}{\mathbb {C} }_{P}$ eine welke Garbe ist. Für die Dimensionen ergibt sich die Beziehung

$h^{0}(X,{\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {L}})=h^{0}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,,$

wobei insbesondere beiden Kohomologien zu ${}{\mathcal {L}}$ genau dann endlichdimensional sind, wenn dies für ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Wegen

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,$

ist nach Fakt

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,$

und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${}{\mathcal {L}}$, wenn sie für ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der riemannschen Fläche die Form ${}{\mathcal {O}}_{X}(-D)$ zu einem Divisor ${}D$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.

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Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$.

Dann ist

${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\geq \operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$