Es sei eine
kompakte
zusammenhängende
riemannsche Fläche
vom
Geschlecht
. Wir betrachten die Abbildung
-
von der Fundamentalgruppe in den Dualraum zum Raum der globalen holomorphen Differentialformen, jedem geschlossenen stetigen Weg wird die Auswertung zugeordnet, die zu einer holomorphen Differentialform das Wegintegral über berechnet. Die Wohldefiniertheit der Abbildung beruht darauf, dass die Wegintegrale nach
Fakt
nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, unabhängig vom gewählten Aufpunkt sind und dass Wegintegrale linear in den Differentialformen sind. Ferner ist die Zuordnung ein
Gruppenhomomorphismus,
da Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Da der Dualraum wie jeder Vektorraum eine kommutative Gruppe ist, faktorisiert die Abbildung durch die erste Homologiegruppe , die man ja als
Abelianisierung
der Fundamentalgruppe auffassen kann.
Das Periodengitter ist also das Bild des oben beschriebenen Gruppenhomomorphismus. Es handelt sich unmittelbar um eine Untergruppe des Dualraumes .
Die Dimension von und seines Dualraumes ist das
Geschlecht
von . Bei einer gegebenen
Basis
von ist die Auswertung längs durch das Periodentupel
(oder den Periodenvektor)
-
festgelegt, es liegt das kommutative Diagramm
-
vor, wobei der vertikale Pfeil rechts eine Linearform
auf das Auswertungstupel abbildet.
Das Bild von
-
nennt man das Periodengitter zur gegebenen Basis, es steht unter der vertikalen Abbildung in Bijektion zum Periodengitter.
Da die erste Homologiegruppe gleich ist, kann man eine
Basis
finden, und das Periodengitter wird von den zugehörigen Auswertungen bzw. den zugehörigen Periodenvektoren
erzeugt.
Es liegt das kommutative Diagramm
-
vor.
Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im Dualraum.
Wir fixieren eine
Basis
von . Es sei
-
der Periodenvektor zu einem geschlossenen Weg . Zu einer Basis von
ist zu zeigen, dass die Vektoren über linear unabhängig sind. Es seien
mit
-
Dann gilt
-
für alle holomorphen Basisformen . Dann gilt auch
-
für alle konjugierten Differentialformen, siehe
Bemerkung.
Die beiden Unterräume und erzeugen über den Ausschitt
-
der langen exakten Kohomologiesequenz zu
Fakt
bzw. das antiholomorphe Analogon den -dimensionalen Raum . Somit gilt auch
-
für jede Kohomologieklasse
.
Nach
Fakt
ist wegen der Übereinstimmungen der Dimensionen
-
Dann geht
unter jeder Auswertung rechts auf und muss daher selbst sein. Somit sind alle
.
Die jacobische Varietät ist eine kompakte
komplexe Lie-Gruppe
der Dimension , man spricht auch vom Jacobischen Periodentorus.
Beweis
Siehe
Aufgabe.