Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Wenn nicht
beschränkt
ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl
ein
mit
.
Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn nicht
abgeschlossen
ist, so gibt es nach
Fakt
eine Folge
,
die gegen ein ,
konvergiert.
Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen , sodass es keine in konvergente Teilfolge geben kann.
Es sei nun abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt konvergiert dann die gesamte Teilfolge in . Da abgeschlossen ist, liegt nach Fakt
der Grenzwert in .