Wir schreiben und für den komplexen bzw. den reellen Tangentialraum. Dabei ist ein komplexer Vektorraum der komplexen Dimension , wobei die komplexe Dimension der komplexen Mannigfaltigkeit ist. Damit ist insbesondere ein reeller Vektorraum der reellen Dimension . Da als reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit die Dimension besitzt, hat auch die reelle Dimension . Wir betrachten die Abbildung
-
die einem
holomorphen Tangentialvektor,
der durch eine
holomorphe Kurve
mit
und
repräsentiert wird, den reellen
Tangentialvektor
zuordnet, der durch den reellen differenzierbaren Weg repräsentiert wird. Diese Abbildung ist wohldefiniert und
-linear.
Zum Nachweis der Bijektivität betrachten wir zu einer Karte
das Diagramm
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wobei die horizontalen Abbildungen die Bijektionen aus
Fakt
bzw.
Fakt
sind. Wegen
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ist das Diagramm kommutativ, daher ist die linke vertikale Abbildung ein reeller Isomorphismus.