Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Reell/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben und für den komplexen bzw. den reellen Tangentialraum. Dabei ist ein komplexer Vektorraum der komplexen Dimension , wobei die komplexe Dimension der komplexen Mannigfaltigkeit ist. Damit ist insbesondere ein reeller Vektorraum der reellen Dimension . Da als reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit die Dimension besitzt, hat auch die reelle Dimension . Wir betrachten die Abbildung

die einem holomorphen Tangentialvektor, der durch eine holomorphe Kurve mit und repräsentiert wird, den reellen Tangentialvektor zuordnet, der durch den reellen differenzierbaren Weg repräsentiert wird. Diese Abbildung ist wohldefiniert und -linear. Zum Nachweis der Bijektivität betrachten wir zu einer Karte das Diagramm

wobei die horizontalen Abbildungen die Bijektionen aus Fakt bzw. Fakt sind. Wegen

ist das Diagramm kommutativ, daher ist die linke vertikale Abbildung ein reeller Isomorphismus.