Komplexe Zahlen/Gebrochen lineare Funktionen/Textabschnitt

Definition

Zu komplexen Zahlen ${}a,b,c,d\in {\mathbb {C} }$ mit

${}ad-bc\neq 0\,$

nennt man die Abbildung

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$

eine gebrochen-lineare Funktion.

Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der Zähler und Nenner affin-lineare Polynome sind. Bei ${}c=0$ ist sie auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ definiert, andernfalls ist sie im einzigen Punkt ${}-{\frac {d}{c}}$ nicht definiert. Man spricht auch von einer Möbius-Transformation, wobei dies hauptsächlich dann verwenden wird, wenn man die Abbildung auf die riemannsche Zahlenkugel fortsetzt. Die Bedingung ${}ad-bc\neq 0$ bedeutet, dass die Determinante der Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ nicht ${}0$ ist, was nach Fakt dazu äquivalent ist, dass die Matrix invertierbar ist. Dies sichert, dass eine nicht konstante Funktion vorliegt. Eine solche invertierbare Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ definiert also die gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$. Wir wollen die Beziehung zwischen diesen Matrizen und den zugehörigen gebrochen-linearen Funktionen verstehen. Eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$ geht dabei auf die affin-lineare Abbildung ${}z\mapsto {\frac {a}{d}}z+{\frac {b}{d}}$, insbesondere geht eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}$ auf die komplexe Multiplikation mit ${}a$, und eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}$ auf die Verschiebung ${}z\mapsto z+b$, und die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ geht auf die komplexe Invertierung ${}z\mapsto z^{-1}$.

Lemma

Die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$

die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$ besteht.

Beweis

Es sei ${}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}$ eine zweite Matrix, die zugehörigen linear-gebrochen Funktionen seien ${}\varphi$ und ${}\psi$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}\\&={\frac {e{\frac {az+b}{cz+d}}+f}{g{\frac {az+b}{cz+d}}+h}}\\&={\frac {e{\left(az+b\right)}+f{\left(cz+d\right)}}{g{\left(az+b\right)}+h{\left(cz+d\right)}}}\\&={\frac {{\left(ae+cf\right)}z+be+df}{{\left(ag+ch\right)}z+bg+dh}}.\end{aligned}}$

Dies ist die gebrochen-lineare Funktion, die zur Produktmatrix

${}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\end{pmatrix}}\,$

gehört.

Zu einer Streckungsmatrix ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ gehört die gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {sz}{s}}=z$, also die Identität. Es sei ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ eine invertierbare Matrix derart, dass die zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${}\varphi$ die Identität ist. Dann ist insbesondere

${}\varphi (0)={\frac {b}{d}}=0\,,$

woraus ${}b=0$ folgt. Aus

${}\varphi (1)={\frac {a}{c+d}}=1\,$

und

${}\varphi (2)={\frac {2a}{2c+d}}=2\,$

folgt ${}c=0$ und dann auch ${}a=d$.

$\Box$

Korollar

Jede gebrochen-lineare Funktion ${}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ mit ${}c\neq 0$

definiert eine biholomorphe Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{{\frac {a}{c}}\}.$

Beweis

Die inverse Matrix zu ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist ${}{\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$, nach Fakt ist die Umkehrabbildung zur durch die Matrix gegebene gebrochen-lineare Funktion gleich der gebrochen-linearen Funktion zur inverse Matrix. Insbesondere gibt es also eine Umkehrabbildung von der gleichen Bauart, wobei die inverse Abbildung in ${}{\frac {a}{c}}$ nicht definiert ist. Allerdings müssen wir noch begründen, dass dieser Punkt nicht getroffen wird, damit die beiden Abbildungen außerhalb des jeweils einen Punktes zusammenpassen. Betrachten wir also die Gleichung

${}{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}\,,$

die zu

${}(az+b)c=a(cz+d)\,$

bzw. zu

${}{\left(ac-ac\right)}z=ad-bc\,$

äquivalent ist, die keine Lösung besitzt.

$\Box$

Lemma

Jede gebrochen-lineare Funktion

kann man als eine Hintereinanderschaltung einer Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}\neq 0$, einer Verschiebung mit einer komplexen Zahl und der Invertierungsfunktion schreiben.

Beweis

Wegen Fakt folgt dies aus der Faktorisierung einer invertierbaren Matrix in eine Matrix der Form ${}{\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und in Elementarmatrizen.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}z_{1},z_{2},z_{3}$ verschiedene komplexe Zahlen.

Dann bildet die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ gegebene gebrochen-lineare Funktion den Punkt ${}z_{1}$ auf ${}0$ und den Punkt ${}z_{2}$ auf ${}1$ ab und ist im Punkt ${}z_{3}$ nicht definiert.

Beweis

Die zu ${}{\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}$ zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${}\varphi$ ist durch

$z\longmapsto {\frac {(z_{2}-z_{3})z-z_{1}(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{1})z-z_{3}(z_{2}-z_{1})}}={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}$

gegeben. Dies ist offenbar im Punkt ${}z_{3}$ nicht definiert. Ferner ist

${}\varphi (z_{1})=0\,$

und

${}\varphi (z_{2})={\frac {(z_{2}-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}=1\,.$

$\Box$