Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbar/Holomorphe und antiholomorphe Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Bei einer reell differenzierbaren Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist das totale Differential in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine reell-lineare Abbildung

$\left(Df\right)_{P}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

die holomorphe Ableitung von ${}f$.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

die antiholomorphe Ableitung von ${}f$.

Es gilt dann

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}\,.$

Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}$ und ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}$. Man kann sie bereits dann definieren, wenn ${}f$ partiell differenzierbar ist.

Beispiel

Es ist

${}{\frac {\partial z}{\partial z}}={\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=1\,$

und

${}{\frac {\partial {\overline {z}}}{\partial z}}={\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=0\,.$

Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von ${}z$ und ${}{\overline {z}}$, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.

Genau dann ist ${}f$ auf ${}G$ komplex differenzierbar, wenn ${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf ${}G$ gilt.

In diesem Fall ist

${}f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich ${}0$ sind. Es ist generell

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$

Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${}{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist ${}f'(P)$.

$\Box$

Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ zerlegt, so ist (vergleiche Bemerkung)

${}{\begin{aligned}\left(Df\right)_{P}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\right)\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in ${}{\mathbb {C} }$-lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist ${}f$ genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial z}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial (cf)}{\partial z}}=c{\frac {\partial f}{\partial z}}\,$

   für eine Konstante ${}c\in {\mathbb {C} }$.

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial z}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial g}{\partial z}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Beweis

(1) für reelles ${}c$ und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial x}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial y}}$ gemäß Fakt. Für komplexes ${}c$ muss man zusätzlich die Zerlegung ${}f=h+g{\mathrm {i} }$ heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$

und

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$

die in dieser Form auf Aufgabe beruht. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}.\end{aligned}}$

Für die Quotientregel siehe Aufgabe.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial (cf)}{\partial {\overline {z}}}}=c{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

   für eine Konstante ${}c\in {\mathbb {C} }$.

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}-f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}}{g^{2}}}\,$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Siehe Aufgabe.
3. Siehe Aufgabe.
4. Siehe Aufgabe.

$\Box$