Kummererweiterung/Simultane Radikalerweiterung/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Aus Fakt und Fakt  (3) folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt.
Zum Beweis der Umkehrung sei ${}L=K{\left(x_{1},\ldots ,x_{r}\right)}$ mit ${}x_{i}^{m}=a_{i}\in K$. Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist. Es sei ${}\zeta \in K$ eine primitive ${}m$-te Einheitswurzel. Die Produkte ${}\zeta ^{\ell }x_{i}$ erfüllen ebenfalls ${}{\left(\zeta ^{\ell }x_{i}\right)}^{m}=a_{i}$. Da man die ${}x_{i}$ als von ${}0$ verschieden annehmen kann, und ${}\zeta$ primitiv ist, sind diese Produkte für jedes ${}i$ untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome ${}X^{m}-a_{1},\ldots ,X^{m}-a_{r}$ über ${}L$ in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist ${}L$ der Zerfällungskörper dieser separablen Polynome, sodass nach Fakt eine Galoiserweiterung vorliegt. Sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe dieser Erweiterung. Für jedes ${}\varphi \in G$ und jedes ${}i$ ist ${}\varphi (x_{i})$ ebenfalls eine Lösung der Gleichung ${}X^{m}=a_{i}$ und daher ist ${}\varphi (x_{i})=\zeta ^{\ell }x_{i}$ mit einem gewissen (von ${}\varphi$ und ${}i$ abhängigen) ${}\ell$. Für zwei Automorphismen ${}\varphi _{1},\varphi _{2}\in G$ ist daher

${}(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(x_{i})=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x_{i}))=\varphi _{1}(\zeta ^{\ell _{2}}x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\varphi _{1}(x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\zeta ^{\ell _{1}}x_{i}=\zeta ^{\ell _{2}+\ell _{1}}x_{i}\,.$

Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist ${}\varphi _{1}\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}\circ \varphi _{1}$. Damit ist die Galoisgruppe abelsch.
Für jedes ${}x_{i}$ ist ferner

${}\varphi ^{m}(x_{i})={\left(\zeta ^{\ell }\right)}^{m}x_{i}=x_{i}\,$

mit einem gewissen ${}\ell$. Also ist ${}\varphi ^{m}=\operatorname {Id}$, sodass ${}m$ ein Vielfaches des Exponenten ist.

Zur bewiesenen Aussage