Aus
Fakt
und
Fakt (3)
folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt.
Zum Beweis der Umkehrung sei
mit
.
Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung
galoissch
mit
abelscher
Galoisgruppe
ist. Es sei
eine
primitive
-te
Einheitswurzel.
Die Produkte
erfüllen ebenfalls
.
Da man die
als von
verschieden annehmen kann, und
primitiv ist, sind diese Produkte für jedes
untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome
über
in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist
der
Zerfällungskörper
dieser
separablen Polynome,
so dass nach
Fakt
eine
Galoiserweiterung
vorliegt. Sei
die
Galoisgruppe
dieser Erweiterung. Für jedes
und jedes
ist
ebenfalls eine Lösung der Gleichung
und daher ist
mit einem gewissen
(von
und
abhängigen)
. Für zwei Automorphismen
ist daher
-
![{\displaystyle {}(\varphi _{1}\circ \varphi _{2})(x_{i})=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x_{i}))=\varphi _{1}(\zeta ^{\ell _{2}}x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\varphi _{1}(x_{i})=\zeta ^{\ell _{2}}\zeta ^{\ell _{1}}x_{i}=\zeta ^{\ell _{2}+\ell _{1}}x_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4644610d40dfb31190be25aed89ff1153754a27)
Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist
.
Damit ist die Galoisgruppe abelsch.
Für jedes
ist ferner
-
![{\displaystyle {}\varphi ^{m}(x_{i})={\left(\zeta ^{\ell }\right)}^{m}x_{i}=x_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09fddf3d675a01f94697e035ddfd4231e7d614b)
mit einem gewissen
. Also ist
,
so dass
ein Vielfaches des
Exponenten
ist.