Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Das $K$-Spektrum}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Alexander_Grothendieck.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Alexander Grothendieck (1928-)} }
\bildlizenz { Alexander Grothendieck.jpg } {Konrad Jacobs} {} {Commons} {CC-BY-SA 2.0} {Quelle=Oberwolfach Photo Collection (http://owpdb.mfo.de/detail?photoID=1452)}
Wie hängen affin-algebraische Mengen und deren Koordinatenringe zusammen? Hier kann man nur für nicht-endliche Grundkörper gehaltvolle Antworten erwarten, da es im endlichen Fall zu wenige Punkte gibt. Eine befriedigende Theorie erfordert sogar, dass man sich auf algebraisch abgeschlossene Körper beschränkt, oder aber
\zusatzgs {das ist der Standpunkt der von Alexander Grothendieck entwickelten Schematheorie} {}
nicht nur $K$-Punkte betrachtet, sondern generell maximale Ideale und Primideale als Punkte mitberücksichtigt.
Eine erste wichtige Frage ist folgende: eine $K$-Algebra $R$ von endlichem Typ hat mehrere, in aller Regel gleichberechtigte Darstellungen als Restklassenring einer Polynomalgebra, sagen wir
\mathdisp {K[X_1, \ldots ,X_n]/\mathfrak a \cong R \cong K[X_1, \ldots, X_m]/\mathfrak b} { . }
Dazu gehören die beiden Nullstellengebilde
\mathl{V({\mathfrak a}) \subseteq \mathbb A^n_K}{} und
\mathl{V({\mathfrak b}) \subseteq \mathbb A^m_K}{.} Wie hängen diese beiden Nullstellengebilde zusammen?
\inputbeispiel{ }
{
Wir betrachten den Polynomring in einer Variablen
\mathl{R=K[T]}{.} Ihm entspricht zunächst die affine Gerade
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{K}}{.} Man kann $R$ aber auch auf ganz verschiedene Arten als Restklassenring einer Polynomalgebra in mehreren Variablen erhalten. Es sei beispielsweise
\mathbed {a \in K} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und betrachte den Restklassenring
\mathl{K[X,Y]/(aY+bX)}{.} Dieser Ring ist
\zusatzklammer {als $K$-Algebra} {} {}
isomorph zu $R$, wie die Abbildung
\mathdisp {K[X,Y]/(aY+bX) \longrightarrow K[T],\,
\mathdisplaybruch X \longmapsto T, \, Y \longmapsto -\frac{b}{a} T} { , }
zeigt. Das zugehörige Nullstellengebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(aX+bY)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist einfach die Gerade in der affinen Ebene, die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ - \frac{b}{a}X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
Eine weitere Möglichkeit, den Polynomring in einer Variablen als Restklassenring darzustellen, ist durch
\mathl{K[X,Y]/(Y-P(X))}{} gegeben, wobei
\mathl{P(X)}{} ein beliebiges Polynom in der einen Variablen $X$ ist. Der Ringhomomorphismus
\mathdisp {K[X,Y]/(Y-P(X)) \longrightarrow K[T],\,
\mathdisplaybruch X \longmapsto T, \, Y \longmapsto P(T)} { , }
zeigt, dass wieder ein Isomorphismus zum Polynomring in einer Variablen vorliegt. Das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
des Polynoms
\mathl{P(X)}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineline.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lineline.jpg } {Astur1} {} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lineair-cartesiaans.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Lineair-cartesiaans.png } {MADe} {} {nl.wikipedia.org} {CC-BY-SA-3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Polynomialdeg5.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Polynomialdeg5.png } {} {Derbeth} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}
}
Der Punkt an diesem Beispiel ist, dass alle drei geometrischen Objekte die Nullstellenmengen zu verschiedenen Restklassendarstellungen von
\mathl{K[T]}{} sind. Vom Standpunkt der algebraischen Geometrie sind das drei gleichberechtigte Darstellungen der affinen Geraden, auch wenn sie unterschiedlich \anfuehrung{aussehen}{}. In der algebraischen Geometrie muss man so hinschauen, dass sie gleich aussehen. Was man sieht sind nur verschiedene Einbettungen des \anfuehrung{eigentlichen und wahren}{} geometrischen Objektes, das zu einer $K$-Algebra intrinsisch gehört, nämlich das $K$-Spektrum.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer kommutativen
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$R$ von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Hom}_K(R,K)} { }
als das
\definitionswort {Spektrum}{}
von $R$. Es wird mit
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} bezeichnet.
}
Die Elemente in einem $K$-Spektrum
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit $P$, obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich $K$-Algebrahomomorphismen von $R$ nach $K$. Für ein Ringelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben wir dann auch einfach
\mathl{f(P)}{}
\zusatzklammer {statt \mathlk{P(f)}{}} {} {}
für den Wert von $f$ unter dem mit $P$ bezeichneten Ringhomomorphismus
\zusatzklammer {es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind} {} {.}
Das $K$-Spektrum wird wieder mit einer \stichwort {Zariski-Topologie} {} versehen, wobei zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {oder zu einer beliebigen Teilmenge aus $R$} {} {}
die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak a} )
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \mid f(P) = 0 \text{ für alle } f \in {\mathfrak a} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe
Aufgabe 12.1.
Die komplementären offenen Mengen werden mit $D( {\mathfrak a} )$ bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen.}
\faktfolgerung {Dann stehen die
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
von
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} nach $K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ = }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}}
\faktzusatz {und zwar entspricht dem Punkt
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n)}{} der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\mathl{X_i \mapsto a_i}{.} Mit anderen Worten,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1, \ldots, X_n] \right) }
}
{ =} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Ein $K$-Algebrahomomorphismus ist stets durch ein $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt. D.h. die Werte an den Variablen $X_i$ legen einen $K$-Algebrahomomorphismus von
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} nach $K$ fest. Ein solcher Einsetzungshomomorphismus ist durch
\mathl{X_i \mapsto a_i}{} definiert. Zugleich ist hier jede Vorgabe von Werten
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n)}{} erlaubt.
\inputbeispiel{}
{
Das $K$-Spektrum zur $K$-Algebra $K$ besteht einfach aus einem Punkt, und zwar ist die Identität \maabb {} {K} {K } {} der einzige $K$-Algebrahomo\-morphismus von $K$ nach $K$. Es gibt im Allgemeinen weitere Körperautomorphismen auf $K$, doch diese sind keine $K$-Algebrahomomorphismen.
}
Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem $K$-Spektrum von $R$ und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von $R$ herrührt.
\inputfaktbeweis
{Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $R$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Restklassendarstellung}{}{}
von $R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { K[X_1 , \ldots , X_n] } { R
} {}
und dem
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann stiftet die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {P} { P \circ \varphi
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{,} die bezüglich der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {P \circ \varphi : K[X_1 , \ldots , X_n] \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a} \cong R
\mathdisplaybruch \stackrel{P}{\longrightarrow} K} { }
einen $K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach $K$ definiert, der nach
Lemma 12.3
der Einsetzungshomomorphismus zu
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n)}{} ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann
\zusatzklammer {und zwar ist \mathlk{a_i=P(\varphi(X_i))}{}} {} {.}
Da der Homomorphismus
\mathl{P \circ \varphi}{} durch $R$ faktorisiert, wird das Ideal ${\mathfrak a}$ auf $0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt
\mathl{P \circ \varphi = (a_1 , \ldots , a_n)}{} liegt in
\mathl{V( {\mathfrak a} )}{,} und es liegt eine Abbildung
\maabbeledisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { V({\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {P} { P \circ \varphi
} {}
vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.
Es seien dazu
\mathl{P_1, P_2 \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein $K$-Algebraho\-momorphismus auf einem $K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h.
\mathl{P_1 \circ \varphi \neq P_2 \circ \varphi}{,} und die Abbildung ist injektiv.
Zur Surjektivität sei ein Punkt
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n) \in V( {\mathfrak a} )}{} vorgegeben. Der zugehörige $K$-Algebrahomomorphismus
\maabbeledisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n] } { K
} {X_i} { a_i
} {,}
annulliert daher jedes
\mathl{F \in {\mathfrak a}}{,} sodass dieser Ringhomomorphismus durch
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}}{} faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.}
Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für
\mathl{G \in R}{} und ein Urbild
\mathl{\tilde{G} \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und einen Punkt
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} mit Bildpunkt
\mathl{\tilde{P}= P \circ \varphi \in V( {\mathfrak a} )}{} gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ =} { P(G)
}
{ =} { P(\varphi(\tilde{G}))
}
{ =} { ( P \circ \varphi ) (\tilde{G})
}
{ =} { \tilde{G} (\tilde{P})
}
}
{}{}{,}
sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.
Dieser Satz besagt also, dass man jedes $K$-Spektrum einer endlich erzeugten $K$-Algebra $R$ mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} identifizieren kann. Man spricht von einer \stichwort {abgeschlossenen Einbettung} {.}
\inputfaktbeweis
{Endlich erzeugte K-Algebren/Nullenstellengebilde zu verschiedenen Restklassendarstellungen sind isomorph/über K-Spektrum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $R$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit zwei
\definitionsverweis {Restklassendarstellungen}{}{}
\mathdisp {R \cong K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a} \text{ und } R \cong K[X_1 , \ldots , X_m]/{\mathfrak b}} { }
mit zugehörigen
\definitionsverweis {Nullstellengebilden}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak b})
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ m } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die beiden Nullstellengebilde
\mathkor {} {V({\mathfrak a})} {und} {V({\mathfrak b})} {}
mit ihrer induzierten
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zueinander.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 12.3
sind beide Nullstellengebilde homöomorph zu
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{,} sodass sie auch untereinander homöomorph sein müssen.
\zwischenueberschrift{Das K-Spektrum als Funktor}
\inputfaktbeweis
{Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$ kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann induziert dies eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {P} { P \circ \varphi
} {.}
Diese Abbildung ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
bezüglich der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Existenz der Abbildung ist klar, dem $K$-Algebrahomomorphis\-mus
\maabbdisp {P} {S} {K
} {}
wird einfach die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {R \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} S \stackrel{P}{\longrightarrow} K} { }
zugeordnet. Das Urbild der offenen Menge
\mathl{D(f) \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} ist dabei
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (\varphi^*)^{-1} (D(f) )
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid \varphi^*(P) \in D(f) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid P \circ \varphi \in D(f) \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid ( P \circ \varphi) (f) \neq 0 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } \mid P ( \varphi(f)) \neq 0 \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {D( \varphi(f))
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher sind generell Urbilder von offenen Mengen wieder offen und die Abbildung ist stetig.
Die in
Satz 12.7
eingeführte Abbildung $\varphi^*$ nennt man die \stichwort {Spektrumsabbildung} {} zu $\varphi$.
\inputfaktbeweis
{Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt}
{Proposition}
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und zu einem
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
zwischen
$K$-\definitionsverweis {Algebren von endlichem Typ}{}{}
sei $\varphi^*$ die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}
Dann gelten folgende Aussagen.
\aufzaehlungfuenf{Zu einem $K$-Algebrahomomorphismus
\maabb {P} {R} {K
} {}
ist die induzierte Spektrumsabbildung $P^*$ einfach die Abbildung, die dem einzigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{ \operatorname{id}\}
}
{ = }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Punkt
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} zuordnet.
}{Der durch ein Element
\mathl{F \in R}{} definierte
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {K[T] } { R
} {T} { F
} {,}
induziert die Spektrumsabbildung
\maabbeledisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[T] \right) } = {\mathbb A}^{1}_{K}
} {P} { F(P)
} {.}
}{Zu einer
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
Abbildung
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
von $K$-Algebren von endlichem Typ ist die zugehörige Spektrumsabbildung
\maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{,}
und zwar ist das Bild gleich
\mathl{V(\ker (\varphi))}{.}
}{Die zu einer surjektiven Abbildung
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n] \longrightarrow S}{} gehörende Spektrumsabbildung
\maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { K-\operatorname{Spek} \, (K[X_1 , \ldots , X_n]) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
stimmt mit der in
Lemma 12.3
definierten Abbildung überein.
}{Es seien
\mathl{F_i \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} für
\mathl{i=1 , \ldots , m}{} und es sei
\maabbeledisp {\varphi} {K[Y_1 , \ldots , Y_m]} { K[X_1 , \ldots , X_n]
} {Y_i} { F_i
} {,}
der zugehörige
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.}
Dann stimmt die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } = K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1 , \ldots , X_n] \right) } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } }=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[Y_1 , \ldots , Y_m] \right) }
} {}
\zusatzklammer {über die Identifizierung aus
Lemma 12.3} {} {}
mit der direkten
\definitionsverweis {polynomialen Abbildung}{}{}
\mathdisp {(x_1 , \ldots , x_n) \longmapsto (F_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , F_m(x_1 , \ldots , x_n))} { }
überein.
}
}
{
(1) Dies folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Id} \circ P
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(2) Unter der hintereinandergeschalteten Abbildung
\mathdisp {K[T] \stackrel{\varphi }{\longrightarrow} R \stackrel{P}{\longrightarrow} K} { }
wird $T$ auf
\mathl{P(F)=F(P)}{} geschickt.
(3) beruht auf ähnlichen Betrachtungen, wie sie im Beweis zu Lemma 12.3 durchgeführt wurden. Das zeigt auch (4). Zu (5) siehe Aufgabe *****.
\zwischenueberschrift{Weitere Eigenschaften des K-Spektrums}
\inputfaktbeweis
{Affine Varietäten/K-Spektren/Polynomring und affine Gerade/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein Körper und $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R[X] \right) }
}
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \times {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein $K$-Algebrahomomorphismus
\maabb {} {R[T]} {K
} {}
induziert einen $K$-Algebrahomomorphismus
\maabb {} {R} {K
} {,}
und zugleich wird $T$ auf ein bestimmtes Element
\mathl{a \in K}{} abgebildet. Diese Daten definieren aber auch einen eindeutig bestimmten $K$-Algebrahomomorphismus
\maabb {} {R[T]} {K
} {.}
Achtung: Die vorstehende Aussage liefert nur eine natürliche Bijektion auf der Punktebene. Würde man die Produktmenge rechts mit der Produkttopologie versehen, so würde hier keine Homöomorphie mit der Zariski-Topologie links vorliegen. Insbesondere ist
\mathl{\mathbb A^2_K \cong \mathbb A^1_K \times A^1_K}{,} aber die Zariski-Topologie der affinen Ebene ist nicht die Produkt-Topologie der affinen Geraden mit sich selbst.
\inputbemerkung
{}
{
Sind
\mathl{X = K-\operatorname{Spek} \, (R)}{} und
\mathl{Y = K-\operatorname{Spek} ( S)}{,} so lässt sich die Produktmenge ebenfalls als $K$-Spektrum einer $K$-Algebra darstellen, und zwar ist
\mathdisp {X \times Y \cong K-\operatorname{Spek}\, ( R \otimes_K S)} { , }
wobei $\otimes$ das Tensorprodukt bezeichnet. Wir werden darauf nicht im Einzelnen eingehen. Um aber doch ein Gefühl dafür zu geben betrachten wir
\mathl{R=K[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak a}{} und
\mathl{S=K[Y_1, \ldots, Y_m]/\mathfrak b}{.} Dann ist
\mathdisp {R \otimes_K S \cong K[X_1, \ldots, X_n,Y_1, \ldots, Y_m]/(\mathfrak a +\mathfrak b)} { }
(bei dieser ad hoc Definition ist nicht klar, dass sie unabhängig von den Darstellungen als Restklassenring ist).
}