Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Gitter}
In der nächsten Vorlesung werden wir einen Zahlbereich über seine reellen und komplexen Einbettungen als Gitter in einem reellen Vektorraum realisieren. Hier besprechen wir die dazu notwendigen Begrifflichkeiten aus der konvexen Geometrie.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren im $\R^n$. Dann heißt die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{\Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n}{} ein \definitionswort {Gitter}{} im $\R^n$.
}
Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu $\Z^n$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in $\R^n$. Ein Gitter heißt \stichwort {rational} {,} wenn die erzeugenden Vektoren zu $\Q^n$ gehören. Das durch die
\definitionsverweis {Standardvektoren}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} erzeugte Gitter heißt \stichwort {Standardgitter} {.}
\inputfaktbeweis
{Gitter/Basis/Übergang/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} und
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
im $\R^n$.}
\faktfolgerung {Dann stimmen die zugehörigen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta
}
{ = }{\Z w_1 \oplus \cdots \oplus \Z w_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann überein, wenn ihre
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
ganzzahlig mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$\pm 1$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
die
\zusatzklammer {reellen} {} {}
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den beiden Basen, dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ N
}
{ =} { E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M \cdot \det N
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
dem Determinantenmultiplikationsatz.
Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ \in }{ \Delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{c_{ij}}{} ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {}
sein müssen, da dies die einzigen
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
in $\Z$ sind.
Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq} { \Delta
}
{ \subseteq} { \Gamma
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit Gleichheit.
\inputbeispiel{}
{
Das
\definitionsverweis {Standardgitter}{}{}
$\Gamma$ im $\R^2$ wird durch die
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1,e_2}{} erzeugt, aber auch durch die beiden Vektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix}} {,}
siehe
Lemma 24.2.
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Gitter/Restklassengruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Z v_1 \oplus \cdots \oplus \Z v_n
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist die topologische Restklassengruppe
\mathl{\R^n/\Gamma}{} isomorph zum $n$-dimensionalen Torus
\mathl{S^1 \times \cdots \times S^1}{}
\zusatzklammer {mit $n$ Faktoren} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 24.3
können wir davon ausgehen, dass $\Gamma$ das
\definitionsverweis {Standardgitter}{}{}
\mathl{\Z e_1 \oplus \cdots \oplus \Z e_n}{} ist. Für dieses gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^n/ { \left( \Z e_1 \oplus \cdots \oplus \Z e_n \right) }
}
{ =} { { \left( \R/ \Z e_1 \right) } \times \cdots \times { \left( \R/ \Z e_n \right) }
}
{ =} { S^1 \times \cdots \times S^1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zwischenueberschrift{Konvexe Mengen}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Convex set.svg } {Oleg Alexandrov} {} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Non Convex set.svg } {Kilom691} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die kleinste
\definitionsverweis {konvexe Teilmenge}{}{}
$T$, die $U$ umfasst, die \definitionswort {konvexe Hülle}{} von $U$.
}
Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die $U$ umfassen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ConvexHull.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { ConvexHull.png } {} {Maksim} {Commons} {PD} {}
Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus $U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht. Dreidimensional nehme man ein Stofftuch.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem durch
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gegebenen
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
bezeichnet man die
\definitionsverweis {konvexe Hülle}{}{}
der Vektoren
\mathl{\epsilon_1 v_1 + \cdots + \epsilon_n v_n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon_i
}
{ \in }{ \{0,1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als die \definitionswort {Grundmasche}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Fundamentalmasche}{}} {} {}
des Gitters.
}
Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren $v_1 , \ldots , v_n$
\definitionsverweis {erzeugten Parallelotops}{}{.}
Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form
\mathdisp {r_1v_1 + \cdots + r_nv_n \text{ mit } r_i \in [0,1]} { }
Wir werden die Grundmasche häufig mit $\mathfrak M$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt $P$ nennt man die Menge
\mathl{P+ {\mathfrak M}}{} eine
\definitionswortenp{Masche}{} des Gitters. Ein beliebiger Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ t_1v_1 + \cdots + t_nv_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{Q
}
{ =} { (\lfloor t_1 \rfloor v_1 + \cdots + \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 + \cdots + (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Determinant_parallelepiped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Determinant_parallelepiped.svg } {} {Claudio Rocchini} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe
Beispiel 24.3.
Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus
Lemma 24.2
in Verbindung mit
Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).
Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen. Vergleiche die Definition der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
und
Lemma 8.9
{Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
im $\R^n$ und sei $P$ das davon
\definitionsverweis {erzeugte Parallelotop}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{}
$\lambda$ auf $\R^n$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\lambda(P)
}
{ =} { \betrag { \det \left( v_1 , \ldots , v_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei in der Matrix die Koordinaten von $v_i$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
stehen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)), siehe den Beweis dort.}
{Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,} sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und sei $P$ das davon
\definitionsverweis {erzeugte Parallelotop}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maß}{}{}
$\lambda_V$ auf $V$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_V(P)
}
{ =} { { \left( \det ( \left\langle v_i , v_j \right\rangle )_{1 \leq i,j \leq n} \right) }^{1/2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Für den Beweis siehe
\zwischenueberschrift{Der Gitterpunktsatz von Minkowski}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {De_Raum_zeit_Minkowski_Bild.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Hermann Minkowski (1864-1909)} }
\bildlizenz { De_Raum_zeit_Minkowski_Bild.jpg } {} {Feitscherg} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {zentralsymmetrisch}{,} wenn mit jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
$X$ heißt \definitionswort {kompakt}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {überdeckungskompakt}{}} {} {,}
wenn es zu jeder offenen Überdeckung
\mathdisp {X= \bigcup_{i \in I} U_i \, \, \, \text{ mit } U_i \text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }I} { }
eine endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in J} U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
Nach
dem Satz von Heine-Borel
ist eine Teilmenge des $\R^n$ genau dann kompakt, wenn sie
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist. Ein weiterer im Folgenden wichtiger Aspekt ist, dass disjunkte kompakte Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y,Z
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen positiven Abstand haben, dass es also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(P,Q)
}
{ >} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, siehe
Aufgabe 24.14.
Es wird auch der Minimalabstand angenommen, siehe
Aufgabe 24.15.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {MinkowskischerGitterpunktsatz.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { MinkowskischerGitterpunktsatz.png } {} {FerdiBf} {de Wikipedia} {Copyrighted free use} {}
Der folgende Satz heißt \stichwort {Gitterpunktsatz von Minkowski} {.}
\inputfaktbeweis
{Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $\Gamma$ ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
im $\R^n$ mit
\definitionsverweis {Grundmasche}{}{}
$\mathfrak M$. Es sei $T$ eine
\definitionsverweis {konvexe}{}{,}
\definitionsverweis {kompakte}{}{,}
\definitionsverweis {zentralsymmetrische}{}{}
Teilmenge in $\R^n$, die zusätzlich die Volumenbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Vol} (T)
}
{ \geq} { 2^n\operatorname{Vol} ({\mathfrak M})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfülle. Dann enthält $T$ mindestens einen von $0$ verschiedenen Gitterpunkt.
}
{
Wir betrachten das verdoppelte Gitter $2 \Gamma$. Ist
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Basis für $\Gamma$, so ist
\mathl{2v_1 , \ldots , 2v_n}{} eine Basis für $2\Gamma$. Wir bezeichnen die Grundmasche von $2\Gamma$ mit $\mathfrak N$, für ihr Volumen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Vol} ( { \mathfrak N })
}
{ = }{ 2^n\operatorname{Vol} ({\mathfrak M})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jeder Masche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak N}_Q
}
{ = }{ Q+{\mathfrak N}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ 2 \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
betrachten wir den Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_Q
}
{ =} { T \cap {\mathfrak N}_Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $T$
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
und insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist, gibt es nur endlich viele Maschen derart, dass dieser Durchschnitt nicht leer ist. Es seien diese Maschen
\zusatzklammer {bzw. ihre Ausgangspunkte bzw. ihre Durchschnitte} {} {}
mit
\mathbed {{\mathfrak N}_i \, (\text{bzw. } Q_i \text{bzw. } T_i)} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
bezeichnet
\zusatzklammer {da der Nullpunkt aufgrund der
\definitionsverweis {Konvexität}{}{}
und der
\definitionsverweis {Zentralsymmetrie}{}{}
zu $T$ gehört, umfasst $I$ zumindest $2^n$ Elemente} {} {.}
Die in die Grundmasche ${\mathfrak N}$ verschobenen Durchschnitte bezeichnen wir mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{T}_i
}
{ \defeq} { T_i - Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten zunächst, dass die $\tilde{T}_i$ nicht paarweise disjunkt sind. Es sei also angenommen, sie wären paarweise disjunkt. Mindestens eines der $T_i$
\zusatzklammer {und damit der $\tilde{T}_i$} {} {}
hat positives Volumen, sagen wir für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der angenommenen Disjunktheit sind insbesondere
\mathdisp {X \defeq \tilde{T}_1 \text{ und } Y \defeq \bigcup_{i \in I, i \neq 1 } \tilde{T}_i} { }
disjunkt zueinander. Wir haben also zwei disjunkte kompakte Teilmengen, und diese besitzen einen Minimalabstand $d$
\zusatzklammer {d.h. zu jedem Punkt aus $X$ liegen in einer $d$-Umgebung keine Punkte aus $Y$, siehe
Aufgabe 24.14} {} {.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {innerer Punkt}{}{}
\zusatzklammer {den es gibt, da $X$ konvex ist und ein positives Volumen besitzt} {} {}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit $S$ sei die Verbindungsstrecke von $x$ nach $y$ bezeichnet, die ganz in $\mathfrak N$ verläuft. Wir wählen einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der weder zu $X$ noch zu $Y$ gehört
\zusatzklammer {solche Punkte gibt es wegen des Minimalabstandes} {} {.}
Da $s$ sowohl zu $X$ als auch zu $Y$ einen Minimalabstand besitzt, gibt es eine $\epsilon$-Umgebung $B$ von $s$, die disjunkt zu $X$ und $Y$ ist. Wir können ferner annehmen, dass $B$ ganz innerhalb von $\mathfrak N$ liegt
\zusatzklammer {wegen der Wahl von $x$} {} {.}
Als eine Ballumgebung hat $B$ ein positives Volumen, was zu folgendem Widerspruch führt.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Vol} ({\mathfrak N})
}
{ \geq} { \operatorname{Vol} (X \cup Y \cup B)
}
{ =} { \operatorname{Vol} { \left( \bigcup_{i \in I} \tilde{T}_i \right) } + \operatorname{Vol}(B)
}
{ >} { \sum_{i \in I} \operatorname{Vol}(\tilde{T}_i)
}
{ =} { \sum_{i \in I} \operatorname{Vol}(T_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \operatorname{Vol}(T)
}
{ \geq} { 2^n \operatorname{Vol}({\mathfrak M})
}
{ =} { \operatorname{Vol}({\mathfrak N})
}
{ } {}
}
{}{.}
Es gibt also Indizes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ \tilde{T}_i \cap \tilde{T}_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$z$ muss selbst nicht zu $T$ gehören} {} {.}
Sei
\mathdisp {z_i \defeq z+Q_i \in T_i \text{ und } z_j \defeq z+Q_j \in T_j} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_i,Q_j
}
{ \in }{ 2 \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_i -Q_j
}
{ \in }{ 2 \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq} { { \frac{ Q_i-Q_j }{ 2 } }
}
{ \in} { \Gamma
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_j
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\zusatzklammer {wegen der Zentralsymmetrie} {} {}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{- z_j
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Konvexität von $T$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ Q_i -Q_j }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } (z_i - z) - { \frac{ 1 }{ 2 } } (z_j - z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } z_i - { \frac{ 1 }{ 2 } } z_j
}
{ \in} {T
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wir haben also einen von Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt in $T$ gefunden.