Kurs:Analysis/Teil I/12/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	3	5	2	4	4	4	4	3	4	2	2	4	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr ${}7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie ${}7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/12/Klausur/kontrolle (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ändern

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}$

konvergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Überabzählbarkeit von ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Q}$ nicht gelten muss.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{q^{2}}},\,q\in \mathbb {Q} \,\cap \,[2,3],$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x\geq 1$, die Gleichheit

${}\,\operatorname {arcosh} \,x\,=\ln {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${}h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x))\,.$

a) Drücke die Ableitung ${}h'$ mit den Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.$

Berechne ${}h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${}h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:

a) ${}\tan x$,

b) ${}\arctan x$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für die Funktionen ${}\sin ^{n}x$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte auf ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}.$

a) Bestimme zu einer Geraden ${}y=sx$, ${}s>0$, die Schnittpunkte mit dem Graphen von ${}f$.

b) Zu einer gegebenen Geraden aus Teil (a) legen der Schnittpunkt ${}(c,d)$ mit ${}c>0$, sein Basispunkt ${}(c,0)$ und der Nullpunkt ${}(0,0)$ ein Dreieck fest. Zeige, dass der Graph von ${}f$ dieses Dreieck in zwei gleich große Flächen zerlegt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.