Kurs:Analysis/Teil I/18/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	3	4	2	3	3	3	3	4	3	4	4	4	3	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

{}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen ${}30$ und ${}40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise

{}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Folge

{}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,

auf Konvergenz. Verwende, dass ${}{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ sei ein normiertes Polynom ${}P_{n}$ vom Grad ${}n$ und ein normiertes Polynom ${}Q_{n}$ vom Grad ${}n+1$ gegeben. Ist die Folge

{}x_{n}={\frac {P_{n}(n)}{Q_{n}(n)}}\,

(es sei zusätzlich stets ${}Q_{n}(n)\neq 0$ ) eine Nullfolge?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$ . Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

{}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}f(x)=x^{3}-5x^{2}-x+2\,.

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

{}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,,

dann ist

{}\vert {f(x)-f(-2)}\vert \leq {\frac {1}{20}}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ . Zeige, dass der Durchschnitt

\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}

aus genau einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ besteht.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2.

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[1,2]$ , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$ , in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ jeweils tangential schneidet.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom der sechsten Ordnung zur Funktion ${}{\frac {1}{\cos x}}$ im Nullpunkt mit einem Potenzreihenansatz unter Verwendung von ${}{\frac {1}{x}}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}(x-1)^{i}$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Begründe den Zusammenhang

{}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\,

für ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

{}f(x)=x^{3}+x^{2}-4x+3\,.

Bestimme die Ableitung von ${}f$ .
Bestimme die Tangente ${}t$ zu ${}f$ im Punkt ${}2$ .
Bestimme die Schnittpunkte der Tangente ${}t$ mit dem Funktionsgraphen zu ${}f$ .
Die Tangente ${}t$ und der Funktionsgraph zu ${}f$ schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

y'=t^{2}y^{2},\,y>0,

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.