Kurs:Analysis/Teil I/25/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	2	5	4	2	8	1	5	7	3	5	6	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die folgende Formel für ${}n\geq 1$.

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}a_{n}$ die Summe der ungeraden Zahlen bis ${}n$ und ${}b_{n}$ die Summe der geraden Zahlen bis ${}n$. Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form ${}n^{k}$ mit ${}n,k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen summierbar ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

${}f(x)=x^{4}+3x^{3}+x^{2}+x+1\,.$

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Bestimme die Ableitung und die Tangente ${}t_{a}$ von ${}f$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$.
2. Bestimme den Schnittpunkt einer jeden Tangenten ${}t_{a}$ mit der ${}x$-Achse in Abhängigkeit von ${}a$. Skizziere die Situation.
3. Die Parabel, die Tangente ${}t_{a}$ und die ${}x$-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt in Abhängigkeit von ${}a$.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
2. Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x\cdot \sin x.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t}}\,.$