Kurs:Analysis/Teil I/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	8	6	4	3	3	4	4	3	2	4	5	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe ${}4\times 6$ Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,$

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche, ob die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+5}{4n^{3}-3n+2}}$

konvergiert oder divergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

streng wachsende Funktionen, die auf ${}\mathbb {Q}$ übereinstimmen. Folgt daraus ${}f=g$?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}b>a$ reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon C^{0}([a,b],\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(]a,b[,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f{|}_{]a,b[}.$

Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

mit

${}b_{n}:={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=e^{x^{2}}-x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=1$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=2t{\text{ mit }}y(5)=3.$