Kurs:Analysis/Teil I/35/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	7	2	4	5	4	5	4	3	2	1	5	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.
4. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$.
5. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Die Zeitunabhängigkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$.
2. Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe

   ${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,.$

3. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion zu einer bijektiven differenzierbaren Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037.$

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.

Aufgabe * (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang ${}U$ und die Fläche ${}A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

vom Grad ${}d\geq 1$ maximal ${}d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal ${}d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die Nennerfunktion überall differenzierbar und die Ableitung keine Nullstelle besitzt, mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x)=\pi ^{x}+x^{e}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion (${}-{\frac {\pi }{2}}<t<{\frac {\pi }{2}}$)

${\frac {1}{\cos t}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangwertproblems

${}y'=e^{-y}\,$

mit

${}y(0)=1\,.$