Kurs:Analysis/Teil I/42/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	3	2	4	3	3	5	5	6	2	4	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
2. Das Supremum einer nichtleeren Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$.
4. Die Potenzreihe in ${}z\in {\mathbb {C} }$ zu den Koeffizienten ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }$, ${}n\in \mathbb {N}$.
5. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

   wobei ${}T$ eine Menge ist.

6. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   (welche Voraussetzungen muss die Funktion ${}f$ und das Intervall ${}I$ erfüllen)?
2. Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
3. Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.

Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen ${}995$ und ${}1005$ Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens ${}90$ Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}a\leq b$ und seien Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ und nichtnegative Zahlen ${}t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\in K_{\geq 0}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

gegeben. Zeige

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\in [a,b]\,$

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Folgen (für ${}n\geq 1$)

${}x_{n}:={\frac {1-n^{2}}{n}}\,$

und

${}y_{n}:=n\,.$

Konvergiert die Folge

${}z_{n}:=x_{n}+y_{n}\,$

in ${}\mathbb {R}$? Falls ja, was ist der Grenzwert?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${}d$ über einem Körper ${}K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe * (3 Punkte)

Untersuche die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4n-9}{2n^{3}-5n^{2}-6n+2}}$

auf Konvergenz.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(1,0)$ und Radius ${}1$ und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(3,0)$ und Radius ${}1$.

1. Skizziere die Situation.
2. Definiere eine Funktion

   $f\colon [0,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

   deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

3. Ist ${}f$ an der Stelle ${}2$ differenzierbar?

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ und den um ${}d\in \mathbb {R}$ vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

${}h(x)={\sqrt {x}}+d\,.$

1. Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
2. Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ${}d$) beliebig groß werden kann.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Newton-Leibniz-Formel.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten das Polynom

${}P(x)=x^{4}-3x^{2}-4\,.$

1. Bestimme die reellen Nullstellen von ${}P$.
2. Bestimme die Extrema von ${}P$.
3. Bestimme den Flächeninhalt, der durch den Graphen und die ${}x$-Achse eingegrenzt wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Differentialgleichung

${}y'={\frac {4y+5t}{2y-3t}}\,.$

Zeige, dass man mit dem Ansatz

${}y=z\cdot t\,$

mit einer unbekannten Funktion ${}z(t)$ eine Differentialgleichung für ${}z$ mit getrennten Variablen erhält.