Kurs:Analysis/Teil I/53/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	3	6	2	5	5	3	3	2	3	3	3	7	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, wie man ${}a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe explizit ein ${}m$ mit der Eigenschaft an, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

{}1,03^{n}\geq n^{2}\,

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

mit

{}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die ${}x$ -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

{}P=X^{3}+4X^{2}-7X+1\,

und

{}Q=X^{3}-2X^{2}+5X+3\,.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).

${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)-1,$
${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x-1\right)-1,$
${\frac {1}{2}}\sin \left({\frac {1}{3}}x+1\right)-1,$
${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+1\right)+1,$
${\frac {1}{3}}\sin \left(2x+1\right)-1,$
${\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {1}{2}}x+{\frac {\pi }{2}}\right)-1.$

a)
b)
c)

d)
e)
f)

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }$ ${}a\neq 0$ , und es sei

f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(az)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(az)=a^{-1}f'(z)$ erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und ${}x\in I$ ein Punkt mit

{}f^{\prime \prime }(x)=0\,

und

{}f^{\prime \prime \prime }(x)\neq 0\,.

Zeige, dass ${}x$ ein Wendepunkt von ${}f$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

{}f(x)=2^{x}\,

im Entwicklungspunkt ${}1$ .

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ Riemann-integrierbar ist.