Kurs:Analysis/Teil I/57/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	1	2	1	4	3	4	6	6	3	2	7	2	7	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag eines Elementes ${}x$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$.
3. Das Cauchy-Produkt von zwei komplexen Reihen.
4. Die ${}n$-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

5. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten ${}{\binom {n}{k}}$ und ${}{\binom {n}{k+1}}$ der Zusammenhang

${}{\binom {n}{k+1}}={\binom {n}{k}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}\,$

besteht.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme

${\left({\left({\left({\left({\left({\frac {3}{7}}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{-1}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes ${}\epsilon \in \mathbb {R} ,\,\epsilon >0$, gelte ${}x\leq \epsilon$. Zeige ${}x=0$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}3x\geq -8\,$

und

${}7x\leq 10\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

ein reelles Polynom mit ${}a_{n}>0$. Man gebe in Abhängigkeit von den Koeffizienten ${}a_{0},\ldots ,a_{n}$ eine Schranke ${}b$ derart an, dass

${}P(x)>0\,$

für alle ${}x\geq b$ gilt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${}f(x)={\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{\sin \left(2x\right)}}$ für ${}x\rightarrow 0$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$

Finde ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass

${}x^{4}-x^{3}=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

gilt.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\ln \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f$ für ${}x>1$.

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Ein zylindrischer Behälter (eine Tonne) enthält Wasser mit der Anfangshöhe ${}h$ und am Boden eine Ausflussmöglichkeit. Nach dem Ausflussgesetz von Torricelli gilt für den Ausfluss (gemessen in Ausflussmenge pro Zeiteinheit, ${}c$ ist eine positive Konstante)

${}v(t)=-c{\sqrt {h(t)}}\,.$

Dabei ist die Ausflussgeschwindigkeit proportional zur Höhenänderung des Wasserstandes, also ${}h'(t)=dv(t)$ mit einer weiteren positiven Konstanten ${}d$.

1. Bestimme eine Differentialgleichung für die Höhenfunktion ${}h(t)$.
2. Löse diese Differentialgleichung für die Parameter ${}c=d=1$ und die Anfangshöhe ${}1$ Meter, wenn der Ausflussprozess zum Zeitpunkt ${}t=0$ startet.
3. Wann ist die Tonne leer?