Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/15a/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	4	5	7	2	5	8	2	2	3	4	9	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein angeordneter Körper.
2. Die komplexe Konjugation.
3. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
4. Die Stetigkeit in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ einer Abbildung ${}f:{\mathbb {K} }\rightarrow {\mathbb {K} }$.
5. Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf einer Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.

6. Das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu einer ${}n$-mal differenzierbaren Funktion

   $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   im Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
2. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
3. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

${}x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}\,$

gegebenen Folge.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in T$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von ${}g(x)={\frac {(f(x))^{n}}{f(x^{n})}}$ für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}$ für ${}x\rightarrow 0$ (${}x>0$).

Aufgabe * (8 (1+4+3) Punkte)

Es sei ${}f(x)=\sin x$. Bestimme Polynome ${}P,Q,R$ vom Grad ${}\leq 3$, die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) ${}P$ stimmt mit ${}f$ an den Stellen ${}-\pi ,0,\pi$ überein.

(b) ${}Q$ stimmt mit ${}f$ in ${}0$ und in ${}\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.

(c) ${}R$ stimmt mit ${}f$ in ${}\pi /2$ bis zur dritten Ableitung überein.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine Stammfunktion zu ${}fg$ finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu ${}f$ und zu ${}g$ miteinander multipliziert.

„Es sei ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}f$ und ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$, die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von ${}f$ und ${}g$ möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, sodass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist ${}\ln F$ eine Stammfunktion von ${}\ln f$ und ${}\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln g$. Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit ${}\ln F+\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln f+\ln g$. Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

${}\exp \left(\ln F+\ln G\right)=\exp \left(\ln F\right)\cdot \exp \left(\ln G\right)=F\cdot G\,$

eine Stammfunktion von

${}\exp \left(\ln f+\ln g\right)=\exp \left(\ln f\right)\cdot \exp \left(\ln g\right)=f\cdot g\,$

ist.“

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{x^{4}+1}}$

unter Verwendung der Zerlegung

${}x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.$

Aufgabe * (9 (3+3+3) Punkte)

a) Es sei

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

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