Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 15/latex

\setcounter{section}{15}






\zwischenueberschrift{Cauchy-Produkt von Reihen}




\inputdefinition
{}
{

Zu \definitionsverweis {Reihen}{}{} \mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {} \definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{} heißt die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k = \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { }
das \definitionswort {Cauchy-Produkt}{} der beiden Reihen.

}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
zwei \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Reihen}{}{} \definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} absolut konvergent und für die Summe gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } }
{ =} { { \left( \sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \right) } \cdot { \left( \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir müssen für die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{}
\mathdisp {x_n = \sum_{ i = 0 }^{ n } a_i,\, y_n =\sum_{ j = 0 }^{ n } b_j \text{ und } z_n = \sum_{ k = 0 }^{ n } c_k} { }
zeigen, dass $z_n$ gegen den Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_ny_n \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { z_n -x_n y_n } }
{ =} { \betrag { \sum_{ k = 0 }^{ n } c_k - { \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_i \right) } { \left( \sum_{ j = 0 }^{ n } b_j \right) } } }
{ =} { \betrag { \sum_{ 0 \leq i,j \leq n ,\, i+j >n } a_i b_j } }
{ \leq} { \sum_{ 0 \leq i,j \leq n ,\, i+j >n } \betrag { a_i } \betrag { b_j } }
{ \leq} { { \left( \sum_{ n/2 <i \leq n } \betrag { a_i } \right) } { \left( \sum_{ j = 0 }^{ n } \betrag { b_j } \right) } \bruchhilfealign + { \left( \sum_{ n/2 <j \leq n } \betrag { b_j } \right) } { \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } \betrag { a_i } \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \left( \sum_{ n/2 <i \leq n } \betrag { a_i } \right) } { \left( \sum_{ j = 0 }^{ \infty } \betrag { b_j } \right) } \bruchhilfealign + { \left( \sum_{ n/2 <j \leq n } \betrag { b_j } \right) } { \left( \sum_{ i = 0 }^{ \infty } \betrag { a_i } \right) } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und
\mathl{\sum_{n/2 <i \leq n } \betrag { a_i }}{} und
\mathl{\sum_{ n/2 <j \leq n } \betrag { b_j }}{} nach Aufgabe 9.15 \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{} sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} nach Aufgabe ***** gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. \teilbeweis {}{}{}
{Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c_k } }
{ \leq }{ \sum_{ i = 0 }^{ k } \betrag { a_i } \betrag { b_{k-i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{}

}







\zwischenueberschrift{Potenzreihen}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} und $z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
die \definitionswort {Potenzreihe}{} in $z$ zu den Koeffizienten
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{.}

} Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man $z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in $z$ darstellt.

Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $0$. Eine Potenzreihe mit \stichwort {Entwicklungspunkt} {} $a \in {\mathbb C}$ ist ein Ausdruck der Form
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n} { . }

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty z^n}{,} die für
\mathl{\betrag { z } < 1}{} konvergiert und dort die Funktion
\mathl{1/(1-z)}{} darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.






\zwischenueberschrift{Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}




\inputdefinition
{}
{

Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
die \definitionswort {Exponentialreihe }{} in $z$.

}

Dies ist also die Reihe
\mathdisp {1+z+ \frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + \frac{z^5}{120} + \frac{z^6}{720} + \frac{z^7}{5040} + \cdots} { . }





\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{ \frac{z^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{z^n}{n!} } } }
{ =} { \betrag { \frac{z}{n+1} } }
{ =} { \frac{ \betrag { z } }{n+1} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{ 2 \betrag { z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kleiner als
\mathl{1/2}{.} Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}


Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exp.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph der reellen Exponentialfunktion} }

\bildlizenz { Exp.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}





\inputdefinition
{}
{

Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z \defeq \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} } {,} heißt \zusatzklammer {komplexe} {} {} \definitionswort {Exponentialfunktion}{.}

}  Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} zur Basis
\mathdisp {\exp 1 =1+1+ { \frac{ 1 }{ 2 } }+ { \frac{ 1 }{ 6 } }+ { \frac{ 1 }{ 24 } }+ { \frac{ 1 }{ 120 } } + \cdots} { }
ist, und dass
\mathl{\exp 1}{} mit der früher eingeführten eulerschen Zahl $e$ übereinstimmt (Korollar 16.11 und Korollar 20.14).

Die folgende Aussage nennt man die \stichwort {Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion} {.}




\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für \definitionsverweis {komplexe Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right) }
{ =} { \exp z \cdot \exp w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der beiden Exponentialreihen ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{z^{i} }{i!} \frac{ w^{n-i } }{ (n-i)!} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 \definitionsverweis {absolut konvergent}{}{} und der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von
\mathl{z+w}{} nach der allgemeinen binomischen Formel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(z+w)^n}{n!} }
{ =} { \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i } z^{i} w^{n-i} }
{ =} { c_n }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} sodass die beiden Seiten übereinstimmen.

}





\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z } {,}}
\faktuebergang {besitzt folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp \left( -z \right) }
{ = }{ ( \exp z )^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp n }
{ = }{ ( \exp 1)^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für \definitionsverweis {reelles}{}{} $z$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für reelle Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Die reelle Exponentialfunktion\zusatzfussnote {Unter der reellen Exponentialfunktion verstehen wir hier die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reellen Zahlen. Wir werden bald sehen, dass sie mit der Exponentialfunktion zur Basis $e$ übereinstimmt} {.} {} ist \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der Definition.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z \cdot \exp \left( -z \right) }
{ =} { \exp \left( z-z \right) }
{ =} { \exp 0 }
{ =} { 1 }
{ } { }
} {}{}{} aufgrund von Satz 15.7.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus Satz 15.7 und (2).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${\mathbb C}$ abgeschlossen\zusatzfussnote {Eine Teilmenge \mathlk{T \subseteq {\mathbb C}}{} heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in $T$, die in ${\mathbb C}$ konvergiert, schon in $T$ konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in $\R$.} {} {} sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ =} { \exp \left( \frac{z}{2} + \frac{z}{2} \right) }
{ =} { \exp \frac{z}{2} \cdot \exp \frac{z}{2} }
{ =} { { \left( \exp \frac{z}{2} \right) }^2 }
{ \geq} { 0 }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(5). Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^n }
{ =} {1+x + \sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{n!} x^n }
{ >} { 1 }
{ } { }
} {}{}{,} da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp x \cdot \exp \left( -x \right) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sodass der andere Faktor $\leq 1$ sein muss.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(6). Für reelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x-y }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher nach (5)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp \left( x-y \right) }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x }
{ =} { \exp \left( x-y + y \right) }
{ =} { \exp \left( x-y \right) \exp y }
{ >} { \exp y }
{ } { }
} {}{}{.}}
{}

}






\zwischenueberschrift{Die trigonometrischen Reihen}




\inputdefinition
{}
{

Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!}} { }
die \definitionswort {Kosinusreihe}{} und
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
die \definitionswort {Sinusreihe}{} zu $z$.

}

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes $z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
\mathdisp {\cos z \defeq \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!} \text{ und } \sin z \defeq \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
heißen \stichwort {Kosinus} {} und \stichwort {Sinus} {.} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.





\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die Funktionen \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \cos z } {,} und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin z } {,} besitzen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{x+ { \mathrm i} y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z }
{ =} { (\exp x) ( \cos y + { \mathrm i} \sin y ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Speziell gilt die \stichwort {eulersche Formel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \mathrm i} y }
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist \mathkor {} {\cos 0 =1} {und} {\sin 0 =0} {.} }{Es ist{{ Zusatz/\zusatzfussnote {Dies werden wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen. Hier fassen wir nur jeweils zwei aufeinander folgende Reihenglieder zusammen, was aufgrund von Aufgabe 15.8 möglich ist.} {} {} |text=Die Kosinusfunktion ist also eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} und die Sinusfunktion ist eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} | |ISZ=.|ESZ= }} \mathkor {} {\cos \left( -z \right) = \cos z} {und} {\sin \left( -z \right) = - \sin z} {.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z }
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin z }
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) - \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 { \mathrm i} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gelten die Additionstheoreme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos (z+w) }
{ =} { \cos z \, \cos w - \sin z \, \sin w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w) }
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos z)^2 + (\sin z)^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1). Aufgrund von Satz 15.7 gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp (x+ { \mathrm i} y) }
{ =} { \exp x \cdot \exp \left( { \mathrm i} y \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe 15.8 und Lemma 9.4  (1) gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{ n =0}^\infty \frac{ ( { \mathrm i} y ) ^{ n } }{n!} }
{ =} { \sum_{k = 0 }^\infty { \left( { \frac{ ({ \mathrm i} y)^{2k} }{ (2k)! } } + { \frac{ ({ \mathrm i} y)^{2k+1} }{ (2k+1)! } } \right) } }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \mathrm i}^{2k} \frac{y^{2k} }{(2k)!} + \sum_{k = 0}^\infty { \mathrm i} ^{2k+1} \frac{y^{2k+1} }{(2k+1)!} }
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty (-1)^{k} \frac{y^{2k} }{(2k)!} + \sum_{k = 0}^\infty { \mathrm i} (-1)^{k} \frac{y^{2k+1} }{(2k+1)!} }
{ =} { \sum_{ k = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ k } y^{2k} }{(2k)!} + { \mathrm i} \sum_{ k = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ k } y^{2k+1} }{(2k +1 )!} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \, \sin y }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4) folgt aus (1) und (3).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(5). Nach (4) ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \cos \left( z+w \right) }
{ =} { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} (z+w) \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} (z+w) \right) }{2} }
{ =} { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) \exp \left( { \mathrm i} w \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) \exp \left( -{ \mathrm i} w \right) }{2} }
{ =} { \frac{1}{2} ( ( \cos z + { \mathrm i} \sin z)( \cos w + { \mathrm i} \sin w ) \bruchhilfealign + ( \cos z - { \mathrm i} \sin z ) ( \cos w - { \mathrm i} \sin w ) ) }
{ =} { \frac{1}{2} ( \cos z \cos w \bruchhilfealign + { \mathrm i} ( \cos z \sin w + \sin z\cos w ) - \sin z \sin w }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \, \, \, \, \, \,} { + \cos z \cos w \bruchhilfealign - { \mathrm i} (\cos z \sin w + \sin z \cos w ) \bruchhilfealign - \sin z \sin w ) }
{ =} { \cos z \cos w - \sin z \sin w }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w }
{ = }{-z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und aufgrund von (2) ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 }
{ =} { \cos 0 }
{ =} { \cos \left( z-z \right) }
{ =} { \cos z \cos \left( -z \right) - \sin z \sin \left( -z \right) }
{ =} { \cos z \cos z + \sin z \sin z }
} {}{}{.}}
{}

}


Für reelle $z$ sind \mathkor {} {\sin z} {und} {\cos z} {} wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles $z$ das Paar
\mathl{( \cos z, \sin z)}{} ein Punkt auf dem \stichwort {Einheitskreis} {}
\mathl{{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }}{} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als
\mathl{( \cos z, \sin z )}{} schreiben lässt, wobei man $z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode $2 \pi$ auf, wobei wir die \stichwort {Kreiszahl} {} $\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.