Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{e^{2t}+e^{t}+1 }{e^{2t}-1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{5}{e^{3t}-1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{9a^x+4a^{-x} }} { }
mit $a>1$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh t } }} { }
für
\mathl{t>0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \cosh x + \sinh^{ 2 } x } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \ln x }{ x } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }

b) Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 4s }{ s^4-2s^2+1 } }} { . }

c) Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sinh^{ 2 } t } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{- { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ < }{t }
{ < }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \cos t } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sin^{ 3 } x } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \zusatzklammer {
\mathl{0 <t < { \frac{ \pi }{ 2 } }}{}} {} {}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sin t + \cos t } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{2-\cos{x} }{2+\cos{x} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\cos{(2x)} \sin^2{(x)}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die in Lemma 27.5 verwendeten Substitutionen \mathkor {} {x= \cos t = { \frac{ 1-s^2 }{ 1+s^2 } }} {und} {y= \sin t = { \frac{ 2s }{ 1+s^2 } }} {} die Kreisgleichung
\mathl{x^2+y^2=1}{} erfüllen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sqrt{ 3x^2 + 4x -2 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle ein Abbildungsdiagramm, das aufzeigt, wie sich eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} in den \definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{} als eine \definitionsverweis {zusammengesetze Funktion}{}{} ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ r }{ \sqrt{1-r^2} } } dr} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sqrt{ \frac{u+1}{u } }} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{e^{2t}+e^{3t} }{e^{4t}-1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ \ln 2x }{ x \ln 4x }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sin{(3x)} \cos{(x)} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x \sqrt{-x^2+5x-6 } }}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ ( \sqrt{ x^2 + x+1 })^2 +4x^3 \sqrt{ x^2 + x+1 } -3x }{ x^2 \sqrt{ x^2 + x+1 } } }} { . }

}
{} {}