Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28



Übungsaufgaben

Löse das Anfangswertproblem


Löse das Anfangswertproblem


Löse das Anfangswertproblem


Löse das Anfangswertproblem


Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen und zeitunabhängig ist, d.h. dass konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.


Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.


Wie sieht der Graph einer Abbildung

aus, die nur von einer Variablen abhängt.


Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.12 voraus.

Es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung


Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit .

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.

Zeige, dass () eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

auf ist.


a) Es sei

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. für alle . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

injektiv ist.

b) Es sei nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.


Finde eine differenzierbare Funktion (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

erfüllt (dabei ist als der Wert der Funktion an der Stelle zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen mit ; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).


Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

einen -dimensionalen reellen Vektorraum bilden.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

auf mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem unendlich oft differenzierbare Funktionen

derart gibt, dass die -te Ableitung mit übereinstimmt, die Ableitungen , , aber nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.



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