Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 29
- Übungsaufgaben
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
für .
Es sei
eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion und es sei eine differenzierbare Lösung.
a) Zeige, dass ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.
b) Es sei für einen Zeitpunkt . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 18.24, dass für alle . gilt.
Es sei
eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Die folgende Aussage nennt man das Superpositionsprinzip für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.
Es sei ein reelles Intervall und seien
Funktionen. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung und es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass dann eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
Finde alle Lösungen der in Beispiel 28.12 betrachteten Differentialgleichung zweiter Ordnung
mit Hilfe von Satz 29.10.
Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch (siehe Beispiel 29.11) sei , wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde.
a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.
b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.
c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.
a) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
b) Finde alle Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung ()
c) Löse das Anfangswertproblem
a) Finde alle Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
b) Löse das Anfangswertproblem
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Finde sämtliche Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung
Aufgabe (3 Punkte)
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?
Aufgabe (5 Punkte)
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe (3 Punkte)
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Aufgabe (5 Punkte)
Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
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