Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex

\setcounter{section}{28}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-3t+4 \text{ mit } y(-1) = -5} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \sin t \text{ mit } y(\pi) = 7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^3-2t+5 \text{ mit } y(3) = 4} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer \definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{} der Abstand zwischen zwei Lösungen \mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {} zeitunabhängig ist, d.h. dass
\mathl{y_1(t)- y_2(t)}{} \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei \definitionsverweis {zeitunabhängigen Differentialgleichungen}{}{} nicht der Fall sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie sieht der \definitionsverweis {Graph}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R \times \R} {\R } {} aus, die nur von einer Variablen abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde alle Lösungen zur \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.12 voraus.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(\R,\R) }
{ =} { { \left\{ f:\R \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} und die \definitionsverweis {Dimension}{}{} der \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} der \definitionsverweis {Ableitung}{}{} \maabbeledisp {} {D(\R,\R)} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) } } {f} {f' } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {c y^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{\R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mathl{y(x)=x^n}{} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {} eine Lösung der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {n y^{ { \frac{ n-1 }{ n } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mathl{\R_+}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Es sei \maabbdisp {f} {\R \times \R} {\R } {} ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(t,y) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{(t,y) \in \R^2}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {Lösungskurve}{}{} zur \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {f(t,y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Es sei $f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass $f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\mathl{y(t)}{} \zusatzklammer {nicht die Nullfunktion} {} {,} die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t) }
{ =} {y(t-1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt \zusatzklammer {dabei ist \mathlk{y(t-1)}{} als der Wert der Funktion $y$ an der Stelle \mathlk{t-1}{} zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen $y$ mit
\mathl{t-1}{;} es handelt sich also
\betonung{nicht}{} um eine Differentialgleichung} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die \definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} }
{ =} { y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y \text{ mit } y(0)=3 \text{ und } y^\prime (0) = -2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die \definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} }
{ =} { -y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = -y \text{ mit } y(0)=5 \text{ und } y^\prime (0) = 6} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{(n)} }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen $n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde eine Lösung zur \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { y+t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ t^2+1 } } \text{ mit } y(1) = 2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sinh t } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mathl{\R_+}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(1) }
{ = }{ 7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde alle polynomialen Lösungen der \definitionsverweis {Differentialgleichung dritter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime \prime} }
{ =} { 9y -3t y' +y^{\prime \prime} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unendlich oft differenzierbare Funktionen \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} derart gibt, dass die $n$-te Ableitung
\mathl{f^{(n)}}{} mit $f$ übereinstimmt, die Ableitungen
\mathbed {f^{(i)}} {}
{i < n} {}
{} {} {} {,} aber nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R_+ } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1) }
{ = }{ 2f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die von
\mathl{2^x}{} verschieden ist.

}
{} {}