Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe fünf \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} an, die \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 8 } }} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Q$ mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ \geq }{ { \frac{ c }{ d } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei \mathlk{b,d \in \N_+}{}} {} {,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad
}
{ \geq }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\Z$ gilt, definierten Beziehung ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
ist
\zusatzklammer {dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\Z$ verwendet werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.
Wer fährt schneller?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x \in K$. Zeige, dass
\mathl{x > 0}{} genau dann gilt, wenn $-x < 0$ ist.
}
{(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für jedes $x \in K$ die Beziehung $x^2=xx \geq 0$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Aussagen:
In einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
gelten die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \geq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \leq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac
}
{ \leq }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.
}
{Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für das inverse Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ y
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {inversen Elemente}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1}
}
{ < }{ y^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq }{y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der in Aufgabe 3.22 konstruierte \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ nicht \definitionsverweis {angeordnet}{}{} werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die in Aufgabe 3.6 eingeführte Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} {K } {n} {n_K } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { d+n } { n }
}
{ \geq} { { \left( { \frac{ d }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n^n
}
{ \leq} {(n+1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n!
}
{ \leq} { { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
$\frac{x+y}{2}$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {\frac{x+y}{2}
}
{ <} {y
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 4x-3 }
}
{ <} { \betrag { 2x-3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ x-2 }{ 3x-1 } } }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die \zusatzklammer {positiven} {} {} Elemente \mathkor {} {8^{1/2}} {und} {25^{1/3}} {} existieren. Welches ist größer?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {K \times K} {K } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften für die
\definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {K} {K
} {x} { \betrag { x }
} {,}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$} {} {.}
\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ = }{\betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ = }{ \betrag { x-y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy }
}
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} }
}
{ = }{ \betrag { x }^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y }
}
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Unter welchen Bedingungen gilt für
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n a_i }
}
{ =} { \sum_{i=1}^n \betrag { a_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass die halboffenen Intervalle
\mathdisp {{[n,n+1[} ={ \left\{ x \in K \mid x \geq n \text{ und } x < n+1 \right\} }, \, n \in \Z} { , }
eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
bei dem eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.
\aufzaehlungdrei{Für $x \in K$ ist entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x=0$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$.
}{Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$.
}
Zeige, dass durch die Festlegung
\mathdisp {x \geq y \text{ genau dann, wenn } x=y \text{ oder } x-y \in P} { }
ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
entsteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung \maabb {} {\Z} {K } {.}
a) Zeige, dass diese Zuordnung \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung
\maabb {} {\Q} {K
} {}
fortsetzen kann, und zwar derart, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
in $\Q$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen und die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
auf $\Q$ mit der Ordnung auf $K$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+4+1+1)}
{
Betrachte die Menge
\mathdisp {K={ \left\{ p+q \sqrt{5} \mid p,q \in \Q \right\} }} { , }
wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.
a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{5}^2
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und dass $K$ zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
wird.
b) Definiere eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
derart, dass $K$ zu einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.
c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\Q^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\Q^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.
d) Ist das Element $23-11 \sqrt{5}$ positiv oder negativ?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die
Bernoullische Ungleichung
zum Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
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