Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Cauchy-Produkt von Reihen}
\inputdefinition
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
heißt die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k = \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { }
das \definitionswort {Cauchy-Produkt}{} der beiden Reihen.
}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} absolut konvergent und für die Summe gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }
}
{ =} { { \left( \sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \right) } \cdot { \left( \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir müssen für die
\definitionsverweis {Partialsummen}{}{}
\mathdisp {x_n = \sum_{ i = 0 }^{ n } a_i,\, y_n =\sum_{ j = 0 }^{ n } b_j \text{ und } z_n = \sum_{ k = 0 }^{ n } c_k} { }
zeigen, dass $z_n$ gegen den Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_ny_n \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { z_n -x_n y_n }
}
{ =} { \betrag { \sum_{ k = 0 }^{ n } c_k - { \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_i \right) } { \left( \sum_{ j = 0 }^{ n } b_j \right) } }
}
{ =} { \betrag { \sum_{ 0 \leq i,j \leq n ,\, i+j >n } a_i b_j }
}
{ \leq} { \sum_{ 0 \leq i,j \leq n ,\, i+j >n } \betrag { a_i } \betrag { b_j }
}
{ \leq} { { \left( \sum_{ n/2 <i \leq n } \betrag { a_i } \right) } { \left( \sum_{ j = 0 }^{ n } \betrag { b_j } \right) } \bruchhilfealign + { \left( \sum_{ n/2 <j \leq n } \betrag { b_j } \right) } { \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } \betrag { a_i } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \left( \sum_{ n/2 <i \leq n } \betrag { a_i } \right) } { \left( \sum_{ j = 0 }^{ \infty } \betrag { b_j } \right) } \bruchhilfealign + { \left( \sum_{ n/2 <j \leq n } \betrag { b_j } \right) } { \left( \sum_{ i = 0 }^{ \infty } \betrag { a_i } \right) } }
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und
\mathl{\sum_{n/2 <i \leq n } \betrag { a_i }}{} und
\mathl{\sum_{ n/2 <j \leq n } \betrag { b_j }}{} nach
Aufgabe 9.15
\definitionsverweis {Nullfolgen}{}{}
sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} nach
Aufgabe *****
gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen.
\teilbeweis {}{}{}
{Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem
Majorantenkriterium
aus der Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c_k }
}
{ \leq }{ \sum_{ i = 0 }^{ k } \betrag { a_i } \betrag { b_{k-i} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Potenzreihen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
und $z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
die \definitionswort {Potenzreihe}{} in $z$ zu den Koeffizienten
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{.}
}
Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man $z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in $z$ darstellt.
Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $0$. Eine Potenzreihe mit \stichwort {Entwicklungspunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Ausdruck der Form
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n} { . }
Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty z^n}{,} die für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergiert und dort die Funktion
\mathl{1/(1-z)}{} darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.
\zwischenueberschrift{Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}
\inputdefinition
{}
{
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
die \definitionswort {Exponentialreihe }{} in $z$.
}
Dies ist also die Reihe
\mathdisp {1+z+ \frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + \frac{z^5}{120} + \frac{z^6}{720} + \frac{z^7}{5040} + \cdots} { . }
\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}} { }
}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{ \frac{z^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{z^n}{n!} } }
}
{ =} { \betrag { \frac{z}{n+1} }
}
{ =} { \frac{ \betrag { z } }{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 2 \betrag { z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kleiner als
\mathl{1/2}{.} Aus dem
Quotientenkriterium
folgt daher die
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exp.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph der reellen Exponentialfunktion} }
\bildlizenz { Exp.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z \defeq \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} } {,} heißt \zusatzklammer {komplexe} {} {} \definitionswort {Exponentialfunktion}{.}
}
Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
zur Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp 1
}
{ =} { 1+1+ { \frac{ 1 }{ 2 } }+ { \frac{ 1 }{ 6 } }+ { \frac{ 1 }{ 24 } }+ { \frac{ 1 }{ 120 } } + \cdots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, und dass
\mathl{\exp 1}{} mit der früher eingeführten eulerschen Zahl $e$ übereinstimmt \zusatzklammer {Korollar 16.11 und Korollar 20.14} {} {.}
Die folgende Aussage nennt man die \stichwort {Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion} {.}
\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\definitionsverweis {komplexe Zahlen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right)
}
{ =} { \exp z \cdot \exp w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Exponentialreihen ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{z^{i} }{i!} \frac{ w^{n-i } }{ (n-i)!}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Reihe ist nach
Lemma 15.2
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
und der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von
\mathl{z+w}{}
nach der allgemeinen binomischen Formel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(z+w)^n}{n!}
}
{ =} { \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i } z^{i} w^{n-i}
}
{ =} { c_n
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
sodass die beiden Seiten übereinstimmen.
\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}}
\faktuebergang {besitzt folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp 0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp \left( -z \right)
}
{ = }{ ( \exp z )^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp n
}
{ = }{ ( \exp 1)^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\definitionsverweis {reelles}{}{}
$z$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für reelle Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die reelle Exponentialfunktion\zusatzfussnote {Unter der reellen Exponentialfunktion verstehen wir hier die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reellen Zahlen. Wir werden bald sehen, dass sie mit der Exponentialfunktion zur Basis $e$ übereinstimmt} {.} {}
ist
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der Definition.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z \cdot \exp \left( -z \right)
}
{ =} { \exp \left( z-z \right)
}
{ =} { \exp 0
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aufgrund von
Satz 15.7.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus
Satz 15.7
und (2).}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${\mathbb C}$ abgeschlossen\zusatzfussnote {Eine Teilmenge
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in $T$, die in ${\mathbb C}$ konvergiert, schon in $T$ konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in $\R$.} {} {} sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ =} { \exp \left( \frac{z}{2} + \frac{z}{2} \right)
}
{ =} { \exp \frac{z}{2} \cdot \exp \frac{z}{2}
}
{ =} { { \left( \exp \frac{z}{2} \right) }^2
}
{ \geq} { 0
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5). Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^n
}
{ =} {1+x + \sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{n!} x^n
}
{ >} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp x \cdot \exp \left( -x \right)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass der andere Faktor $\leq 1$ sein muss.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(6). Für reelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x-y
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher nach (5)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp \left( x-y \right)
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x
}
{ =} { \exp \left( x-y + y \right)
}
{ =} { \exp \left( x-y \right) \exp y
}
{ >} { \exp y
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Die trigonometrischen Reihen}
\inputdefinition
{}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!}} { }
die \definitionswort {Kosinusreihe}{} und
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
die \definitionswort {Sinusreihe}{} zu $z$.
}
Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes $z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen
\mathdisp {\cos z \defeq \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!} \text{ und } \sin z \defeq \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
heißen \stichwort {Kosinus} {} und \stichwort {Sinus} {.} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.
\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die Funktionen
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \cos z
} {,}
und
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
besitzen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{x+ { \mathrm i} y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp z
}
{ =} { (\exp x) ( \cos y + { \mathrm i} \sin y )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Speziell gilt die \stichwort {eulersche Formel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp { \mathrm i} y
}
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mathkor {} {\cos 0 =1} {und} {\sin 0 =0} {.}
}{Es ist\zusatzfussnote {Die Kosinusfunktion ist also eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
und die Sinusfunktion ist eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}} {.} {}
\mathkor {} {\cos \left( -z \right) = \cos z} {und} {\sin \left( -z \right) = - \sin z} {.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos z
}
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin z
}
{ =} { { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) - \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) }{ 2 { \mathrm i} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gelten die Additionstheoreme
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos (z+w)
}
{ =} { \cos z \, \cos w - \sin z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w)
}
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cos z)^2 + (\sin z)^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Aufgrund von
Satz 15.7
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp (x+ { \mathrm i} y)
}
{ =} { \exp x \cdot \exp \left( { \mathrm i} y \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach
Aufgabe 15.7\zusatzfussnote {Dies ist ein Spezialfall der Aussage, dass man absolut konvergente Reihen beliebig sortieren darf, was wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen werden.} {} {}
und
Lemma 9.4 (1)
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{ n =0}^\infty \frac{ ( { \mathrm i} y ) ^{ n } }{n!}
}
{ =} { \sum_{k = 0 }^\infty { \left( { \frac{ ({ \mathrm i} y)^{2k} }{ (2k)! } } + { \frac{ ({ \mathrm i} y)^{2k+1} }{ (2k+1)! } } \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \mathrm i}^{2k} \frac{y^{2k} }{(2k)!} + \sum_{k = 0}^\infty { \mathrm i} ^{2k+1} \frac{y^{2k+1} }{(2k+1)!}
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty (-1)^{k} \frac{y^{2k} }{(2k)!} + \sum_{k = 0}^\infty { \mathrm i} (-1)^{k} \frac{y^{2k+1} }{(2k+1)!}
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ k } y^{2k} }{(2k)!} + { \mathrm i} \sum_{ k = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ k } y^{2k+1} }{(2k +1 )!}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \cos y + { \mathrm i} \, \sin y
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4) folgt aus (1) und (3).}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5). Nach (4) ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \cos \left( z+w \right)
}
{ =} { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} (z+w) \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} (z+w) \right) }{2}
}
{ =} { \frac{ \exp \left( { \mathrm i} z \right) \exp \left( { \mathrm i} w \right) + \exp \left( -{ \mathrm i} z \right) \exp \left( -{ \mathrm i} w \right) }{2}
}
{ =} { \frac{1}{2} ( ( \cos z + { \mathrm i} \sin z)( \cos w + { \mathrm i} \sin w ) \bruchhilfealign + ( \cos z - { \mathrm i} \sin z ) ( \cos w - { \mathrm i} \sin w ) )
}
{ =} { \frac{1}{2} ( \cos z \cos w
\bruchhilfealign + { \mathrm i} ( \cos z \sin w + \sin z\cos w ) - \sin z \sin w
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \, \, \, \, \, \,} { + \cos z \cos w
\bruchhilfealign - { \mathrm i} (\cos z \sin w + \sin z \cos w ) \bruchhilfealign - \sin z \sin w )
}
{ =} { \cos z \cos w - \sin z \sin w
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{-z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aufgrund von (2) ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1
}
{ =} { \cos 0
}
{ =} { \cos \left( z-z \right)
}
{ =} { \cos z \cos \left( -z \right) - \sin z \sin \left( -z \right)
}
{ =} { \cos z \cos z + \sin z \sin z
}
}
{}{}{.}}
{}
Für reelle $z$ sind
\mathkor {} {\sin z} {und} {\cos z} {}
wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles $z$ das Paar
\mathl{( \cos z, \sin z)}{} ein Punkt auf dem \stichwort {Einheitskreis} {}
\mathl{{ \left\{ (x,y) \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }}{} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als
\mathl{( \cos z, \sin z )}{} schreiben lässt, wobei man $z$ als Winkel
\zusatzklammer {im Bogenmaß} {} {}
interpretieren kann. Dabei tritt die Periode $2 \pi$ auf, wobei wir die \stichwort {Kreiszahl} {} $\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.