Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 15

Cauchy-Produkt von Reihen

Definition

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

Beweis

Wir müssen für die Partialsummen

$x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$

zeigen, dass ${}z_{n}$ gegen den Limes der Folge ${}{\left(x_{n}y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Es ist

${}{\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}$

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und ${}\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert$ und ${}\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert$ nach Aufgabe 9.15 Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe ***** gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung ${}\vert {c_{k}}\vert \leq \sum _{i=0}^{k}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{k-i}}\vert$.

$\Box$

Potenzreihen

Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

die Potenzreihe in ${}z$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$, ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man ${}z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in ${}z$ darstellt.

Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}0$. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ ist ein Ausdruck der Form

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$, die für

${}\vert {z}\vert <1\,$

konvergiert und dort die Funktion ${}1/(1-z)$ darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.

Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion

Definition

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}z$.

Dies ist also die Reihe

$1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .$

Satz

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

absolut konvergent.

Beweis

Für ${}z=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${}\vert {\frac {\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {z^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {z}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {z}\vert }{n+1}}\,.$

Dies ist für ${}n\geq 2\vert {z}\vert$ kleiner als ${}1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

$\Box$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

 Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die Exponentialfunktion zur Basis

${}\exp 1=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots \,$

ist, und dass ${}\exp 1$ mit der früher eingeführten eulerschen Zahl ${}e$ übereinstimmt (Korollar 16.11 und Korollar 20.14).

Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

Satz

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

mit ${}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}$. Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${}n$-te Summand der Exponentialreihe von ${}z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

${}{\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,$

sodass die beiden Seiten übereinstimmen.

$\Box$

Korollar

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist ${}\exp \left(-z\right)=(\exp z)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp z\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für reelles ${}z$ ist ${}\exp z\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für reelle Zahlen ${}z>0$ ist ${}\exp z>1$ und für ${}z<0$ ist ${}\exp z<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${}\exp z\cdot \exp \left(-z\right)=\exp \left(z-z\right)=\exp 0=1\,$

aufgrund von Satz 15.7.
(3) folgt aus Satz 15.7 und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${}\exp z=\exp \left({\frac {z}{2}}+{\frac {z}{2}}\right)=\exp {\frac {z}{2}}\cdot \exp {\frac {z}{2}}={\left(\exp {\frac {z}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

(5). Für ${}x>0$ ist

${}\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}>1\,,$

da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist ${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass der andere Faktor ${}\leq 1$ sein muss.
(6). Für reelle ${}x>y$ ist ${}x-y>0$ und daher nach (5) ${}\exp \left(x-y\right)>1$, also

${}\exp x=\exp \left(x-y+y\right)=\exp \left(x-y\right)\exp y>\exp y\,.$

$\Box$

Die trigonometrischen Reihen

Definition

Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}z$.

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes ${}z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

$\cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

Satz

Die Funktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

besitzen für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

1. Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

   ${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

   Speziell gilt die eulersche Formel

   ${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

2. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
3. Es ist ${}\cos \left(-z\right)=\cos z$ und ${}\sin \left(-z\right)=-\sin z$.
4. Es ist

   ${}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$

   und

   ${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$

   und

   ${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$

6. Es gilt

   ${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

Beweis

(1). Aufgrund von Satz 15.7 gilt

${}\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,$

sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe 15.7 und Lemma 9.4  (1) gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}$

(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist

${}{\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}$

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf ${}w=-z$ und aufgrund von (2) ergibt sich

${}1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.$

$\Box$

Für reelle ${}z$ sind ${}\sin z$ und ${}\cos z$ wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles ${}z$ das Paar ${}(\cos z,\sin z)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als ${}(\cos z,\sin z)$ schreiben lässt, wobei man ${}z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode ${}2\pi$ auf, wobei wir die Kreiszahl ${}\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.

Fußnoten

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