Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex

\setcounter{section}{47}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} von \definitionsverweis {endlicher Dimension}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} die gleiche Dimension wie $V$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} mit \definitionsverweis {Basis}{}{} $\mathfrak{ v }= v_1 , \ldots , v_n$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * } }
{ \defeq} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Dualraum}{}{} zu $V$. Zeige, dass auf ${ V }^{ * }$ die \definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{} $v^*_1 , \ldots , v^*_n$, die durch
\mathdisp {v_j^* (v_k) = \begin{cases} 1, \text{ falls } j=k , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases}} { }
definiert sind, eine Basis von ${ V }^{ * }$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbeledisp {L} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+3y-4z } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} bezeichnet. } {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ = }{ { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} } }
{ \subset }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ L {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{,} der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei \maabbdisp {f} {V} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige Gradient im Sinne von Fakt *****. Zeige, dass der Gradient
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zur Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $v$ auf $U$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2y-z^3xe^{xyz} } {,} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {G} {\R } {(x,y,z)} { { \frac{ xyz-z^2 }{ \ln (xy) +z^2 } } } {,} in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} mit
\mathl{G=\R_{> 1} \times \R_{> 1} \times \R}{}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {f} {und} {\left(Df\right)_{P}} {} im Punkt $P$ den gleichen \definitionsverweis {Gradienten}{}{} besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum \definitionsverweis {Kern}{}{} von
\mathl{\left(Df\right)_{P}}{} gehört, wenn er \definitionsverweis {orthogonal}{}{} zum \definitionsverweis {Gradienten}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, f ( P )}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-y^2+x } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und
\mathl{L \times M}{} ihre \definitionsverweis {Produktmenge}{}{.} Beschreibe die \definitionsverweis {Faser}{}{} der \definitionsverweis {Projektion}{}{} \maabbeledisp {} {L\times M} {M } {(x,y)} {y } {,} über einem Punkt
\mathl{y \in M}{.} Kann die Faser leer sein?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {L_1 , \ldots , L_n} {und} {M_1 , \ldots , M_n} {} Mengen und seien \maabbdisp {\varphi_i} {L_i} {M_i } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Zu einem Punkt
\mathl{P_i \in M_i}{} sei
\mathl{F_i \subseteq L_i}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi_i$ über $P_i$. Zeige, dass die Faser der \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n}{} über
\mathl{P=(P_1 , \ldots , P_n )}{} gleich
\mathl{F_1 \times \cdots \times F_n}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Anstieg der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-x+y^3 } {,} im Punkt
\mathl{P=(1,1)}{} in Richtung des Winkels
\mathl{\alpha \in [0, 2 \pi]}{.} Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+ \sin \left( y \right)-xz } {.} \aufzaehlungdrei{Bestimme den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} $G$ von $f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (0,0,0) }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarprodukts}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x-y+3z = 0 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ f {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf $E$. Bestimme den Gradienten $\tilde{G}$ von
\mathl{g}{} bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$. }{Zeige, dass $\tilde{G}$ die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $G$ auf $E$ ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^3-xy+ \sin y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 46.9.

}
{} {}