Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 80/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.
Es sei ein Körper, seien und Vektorräume über und . Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit bezeichnet wird, ein Untervektorraum von (wobei der Vektorraum -fach auftritt) ist.
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Basis . Es sei
der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch
definiert sind, eine Basis von bilden.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung
multilinear und alternierend ist.
Es sei
die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?
Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.
Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der „komplexen Mannigfaltigkeiten“. Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die (komplexe/reelle) Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten das zweite Dachprodukt mit der Standardbasis , , und der zugehörigen Dualbasis . Zeige, dass die Funktion
die Eigenschaft besitzt, dass mit dem Flächeninhalt des von und im aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
mit gibt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Basis
von und die dadurch induzierte Basis
von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .
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