Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 1/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für die Mengen

$M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}$

die Mengen

1. ${}M\cap N$,
2. ${}M\cap N\cap P\cap R$,
3. ${}M\cup R$,
4. ${}{\left(N\cup P\right)}\cap R$,
5. ${}N\setminus R$,
6. ${}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$,
7. ${}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$,
8. ${}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

1. ${}A\cup \emptyset =A\,,$

2. ${}A\cap \emptyset =\emptyset \,,$

3. ${}A\cap B=B\cap A\,,$

4. ${}A\cup B=B\cup A\,,$

5. ${}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,$

6. ${}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,$

7. ${}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,$

8. ${}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,$

9. ${}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, ${}GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und ${}RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

1. ${}GA\setminus RA$.
2. ${}{\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$.
3. ${}RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$.
4. ${}RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$.
5. ${}{\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B\cup C$.
2. ${}A\setminus B\subseteq C$.
3. ${}A\setminus C\subseteq B$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$,
6. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$,
7. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$,
8. ${}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$,
9. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$,
10. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$.

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

1. Eine Kreislinie ${}K$.
2. Ein Geradenstück ${}I$.
3. Eine Gerade ${}G$.
4. Eine Parabel ${}P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Für ${}k=1,\ldots ,8$ sei

${}a_{k}=2^{k}-5k\,.$

Berechne

$\sum _{k=1}^{8}a_{k}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ sei

${}a_{k}={\frac {k}{2k+1}}\,.$

Berechne

$\sum _{k=0}^{5}a_{k}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Wertetabelle

${}i$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}a_{i}$	${}2$	${}5$	${}4$	${}-1$	${}3$	${}5$	${}-2$	${}2$

1. Berechne ${}a_{2}+a_{5}$.
2. Berechne ${}\sum _{k=3}^{6}a_{k}$.
3. Berechne ${}\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}$.
4. Berechne ${}\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}$.

Aufgabe Aufgabe 1.16 ändern

Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.

1. ${}\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,,$

2. ${}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,.$

3. ${}\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)}^{2}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

(Man denke auch an die verschiedenen Möglichkeiten, ein quadratisches Gitter abzuzählen).

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${}n\geq 1$ die Formel

${}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Zahl

$6^{n+2}+7^{2n+1}$

ein Vielfaches von ${}43$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Städte ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei ${}A(n)$ die Aussage, dass je ${}n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je ${}n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt ${}n+1$ Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden ${}n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese ${}n+1$ Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Eine natürliche Zahl heißt besonders, wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die ${}0$ ist als neutrales Element der Addition und die ${}1$ ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die ${}2$ ist die erste Primzahl, die ${}3$ ist die kleinste ungerade Primzahl, die ${}4$ ist die erste echte Quadratzahl, die ${}5$ ist die Anzahl der Finger einer Hand, die ${}6$ ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die ${}7$ ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen ${}A,B,C$ Mengen.

1. Modus Barbara: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\subseteq A$.
2. Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$.
3. Modus Darii: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\cap A\neq \emptyset$.
4. Modus Ferio: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\not \subseteq A$.
5. Modus Baroco: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}B\not \subseteq C$ folgt ${}A\not \subseteq C$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A$ und ${}B$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B$,
2. ${}A\cap B=A$,
3. ${}A\cup B=B$,
4. ${}A\setminus B=\emptyset$,
5. Es gibt eine Menge ${}C$ mit ${}B=A\cup C$,
6. Es gibt eine Menge ${}D$ mit ${}A=B\cap D$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Für ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ sei

${}a_{k}={\frac {k-1}{k}}\,.$

Berechne

$\sum _{k=1}^{4}a_{k}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$. Zeige durch Induktion die Gleichheit

${}(2m+1)\prod _{i=1}^{m}(2i-1)^{2}=\prod _{k=1}^{m}(4k^{2}-1)\,.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer ${}n$-Schokolade aus genau ${}n-1$ Teilungsschritten besteht.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele Teilquadrate (unterschiedlicher Seitenlänge) besitzt ein Schachbrett? Man finde möglichst viele Strategien, diese Anzahl zu bestimmen.