Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { (t^2-4t+5) y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= (t^2-4t+5)y \text{ mit } y(6) = -3} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch Ableiten, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { \sqrt[n+1]{ e^{t^{n+1} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {t^n y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $y(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y'
}
{ = }{g(t) y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
$z(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z'
}
{ = }{h(t) z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Produktfunktion
\mathl{yz}{} eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u'
}
{ =} { (g(t) +h(t))u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, und zwar einmal durch Ableiten und einmal mit
Satz 29.2.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { - \frac{y}{t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { e^t y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige durch Nachrechnen, dass die in
Beispiel 29.7
gefundenen Funktionen
\mathdisp {y(t)= c \frac{\sqrt{t-1} }{\sqrt{t+1} }} { }
die
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=y/(t^2-1)} { }
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { { \frac{ y }{ t^2(t-1) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t) y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {unendlich oft differenzierbaren Funktion}{}{}
\mathl{g}{} und es sei $y$ eine differenzierbare
\definitionsverweis {Lösung}{}{.}
a) Zeige, dass
\mathl{y}{} ebenfalls unendlich oft differenzierbar ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(t_0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen Zeitpunkt $t_0$. Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 18.36,
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^{(n)}(t_0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{,}
für die $f$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y+ e^t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y+ e^{3t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = y + { \frac{ \sinh t }{ \cosh^{ 2 } t } }} { . }
}
{} {}
Die folgende Aussage nennt man das \stichwort {Superpositionsprinzip} {} für inhomogene lineare Differentialgleichungen. Es besagt insbesondere, dass die Differenz zweier Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und seien
\maabbdisp {g,h_1,h_2} {I} {\R
} {}
Funktionen. Es sei $y_1$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'
}
{ = }{ g(t) y +h_1(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $y_2$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y'
}
{ = }{ g(t) y +h_2(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mathl{y_1+y_2}{} eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { g(t)y +h_1(t) +h_2(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Petra sitzt im Straßenkaffee bei einer Außentemperatur von $20$ Grad. Ihr wird ein Kaffee serviert mit einer Temperatur von $90$ Grad, den sie erst in fünf Minuten nach einem wichtigen Telefonat trinken möchte. Sie trinkt ihren Kaffee ohne Zucker, aber mit einem Milchanteil von $10$ Prozent. Die Milch wird mit einer Temperatur von $10$ Grad in einer Kühlbox serviert, die die Temperatur konstant hält. Der Abkühlungskoeffizient für Kaffee und Milch
\zusatzklammer {siehe
Beispiel 29.11} {} {}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 500 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die Zeit in Sekunden aufgefasst werde.
a) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch sofort in den Kaffee gekippt wird.
b) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird.
c) Welche Temperatur besitzt der Kaffee zu Trinkbeginn, wenn die Milch unmittelbar vor dem Trinken in den Kaffee gekippt wird, und die Kühlbox nicht funktioniert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } }} { . }
b) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7} { . }
c) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7 \text{ und } y(1)= 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + (t^2-3) \cos t} { }
für
\mathl{t \in {]{- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.}
b) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = - { \frac{ \sin t }{ \cos t } } y + ( t^2-3 ) \cos t \text{ mit } y(0)=7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ 2t }{ t^2+1 } } y+t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der in
Beispiel 28.14
betrachteten
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{\prime \prime}
}
{ =} {- { \frac{ \beta }{ m } } y' +g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Satz 29.10.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= (2t^3-7t+4)y \text{ mit } y(3) = 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde sämtliche
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { \frac{y}{t^2-3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = (t+2)y+t \exp { \left( \frac{1}{2}t^2+2t \right) }} { . }
Welche Lösung hat das Anfangswertproblem $y(1)=\pi$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \frac{t}{t^2+2} y \text{ mit } y(3) = 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = y+e^{2t}-4e^{-3t}+1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {inhomogenen linearen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } + { \frac{ t^3-2t+5 }{ t^2-3 } }} { . }
}
{} {}