Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Differenzierbare Funktionen}
In dieser Vorlesung betrachten wir Funktionen
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Menge in ${\mathbb K}$ ist. Das ist eine Menge derart, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch eine offene Umgebung
\mathbed {U { \left( a,r \right) }} {}
{r > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt, die ganz in $D$ liegt. Typische Beispiele sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{{\mathbb K}, \,U { \left( a,r \right) },\, {\mathbb K} \setminus \{a_1 , \ldots , a_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Tangente2.gif} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Tangente2.gif } {} {Loveless} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu
\mathbed {x \in D} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
heißt die Zahl
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
der \definitionswort {Differenzenquotient}{} von $f$ zu
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
}
Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graphen durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(x,f(x))} {,}
diese Situation wird auch durch das \stichwort {Steigungsdreieck} {} dargestellt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dieser Differenzenquotient
\betonung{nicht}{} definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der \anfuehrung{Tangente}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man sagt, dass $f$ \definitionswort {differenzierbar}{} in $a$ ist, wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in D \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der \definitionswort {Differentialquotient}{} oder die \definitionswort {Ableitung}{} von $f$ in $a$, geschrieben
\mathdisp {f'(a)} { . }
}
Die Ableitung in einem Punkt $a$ ist, falls sie existiert, ein Element in ${\mathbb K}$. Häufig nimmt man die Differenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{x-a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt $h$ gegen $0$ gehen, d.h. man betrachtet
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \frac{ f(a+h)-f(a) }{ h } }} { . }
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ D \setminus \{a\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird dann zu
\mathbed {a+h \in D} {}
{h \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wenn die Funktion $f$ einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient
\mathl{{ \frac{ f(x)-f(a) }{ x-a } }}{} die
\zusatzklammer {effektive} {} {}
Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten
\mathkor {} {a} {und} {x} {}
und
\mathl{f'(a)}{} ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $a$.
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,c
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\alpha} { {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {z} {sz+c
} {,}
eine sogenannte
\definitionsverweis {affin-lineare Funktion}{}{.}
Zur Bestimmung der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachtet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(sx+c) - (sa+c)}{x-a}
}
{ =} { \frac{ s(x-a) }{x-a}
}
{ =} { s
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist konstant gleich $s$, sodass der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich $s$. Die \stichwort {Steigung} {} der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} { {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {z} {z^2
} {.}
Der
\definitionsverweis {Differenzenquotient}{}{}
zu
\mathkor {} {a} {und} {a+h} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f(a+h) -f(a)}{h}
}
{ =} { \frac{(a+h)^2-a^2}{h}
}
{ =} { \frac{a^2+2ah+h^2 -a^2}{h}
}
{ =} { \frac{2ah+h^2}{h}
}
{ =} { 2a+h}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
davon für $h$ gegen $0$ ist $2a$. Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ = }{ 2a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Lineare Approximierbarkeit}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ in $a$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{{\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Funktion
\maabbdisp {r} {D} { {\mathbb K}
} {}
gibt mit $r$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq} { f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r(x)
}
{ =} { \begin{cases} \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \text{ für } x \neq a\, , \\ 0 \text{ für } x = a \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in D \setminus \{a\} } r(x)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in D \setminus \{a\} } { \left( \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt
\mathkor {} {s} {und} {r} {}
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }
}
{ =} { s + r(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren.}
{}
Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die \stichwort {lineare Approximierbarkeit} {.} Die affin-lineare Abbildung
\maabbeledisp {} {D} { {\mathbb K}
} {x} { f(a) + f'(a) (x-a)
} {,}
heißt dabei die \stichwort {affin-lineare Approximation} {.} Ihr Graph heißt die \stichwort {Tangente} {} an $f$ im Punkt $a$. Die durch
\mathl{f(a)}{} gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit
\zusatzklammer {einer anderen Funktion} {} {}
zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D offen K/Stetigkeit im Punkt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die im Punkt $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 18.5.
\zwischenueberschrift{Ableitungsregeln}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schema Règle produit.png} }
\end{center}
\bildtext {Eine Veranschaulichung der Produktregel: Der Zuwachs eines Flächeninhalts entspricht der Summe der beiden Produkte aus Seitenlänge und Seitenlängezuwachs. Für den infinitesimalen Zuwachs ist das Produkt der beiden Seitenlängenzuwächse irrelevant.} }
\bildlizenz { Schema Règle produit.png } {} {ThibautLienart} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K}
} {}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{,}
die in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
seien.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Summe
\mathl{f+g}{} ist differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f+g)'(a)
}
{ =} { f'(a) + g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} ist differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)'(a)
}
{ =} { f'(a) g(a) + f(a) g'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mathl{cf}{} in $a$ differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (cf)'(a)
}
{ =} { c f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist
\mathl{1/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 1 }{ g } \right)'(a)
}
{ =} { { \frac{ - g'(a) }{ (g(a))^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist
\mathl{f/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ f }{ g } \right)'(a)
}
{ =} { { \frac{ f'(a) g(a) - f(a) g'(a) }{ (g(a))^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Wir schreiben
\mathkor {} {f} {bzw.} {g} {}
mit den in
Satz 18.5
formulierten Objekten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Summieren ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) + g(x)
}
{ =} { f(a) + g(a) + ( s+ \tilde{s} ) (x-a) + (r+ \tilde{r})(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist die Summe
\mathl{r+ \tilde{r}}{} wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Wir gehen wieder von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(x) g(x)
}
{ =} { ( f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) ) ( g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a) )
}
{ =} { f(a)g(a) + ( sg(a) + \tilde{s} f(a)) (x-a)
}
{ \, \, \, \, \,} {+ ( f(a) \tilde{r}(x) + g(a)r(x) + s \tilde{s} (x-a) \bruchhilfealign + s \tilde{r}(x) (x-a) + \tilde{s} r (x) (x-a) + r(x) \tilde{r}(x) (x-a) ) (x-a)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund von
Lemma 12.12
für
\definitionsverweis {Limiten}{}{}
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(a)} }{x-a}
}
{ =} { \frac{-1}{ g(a)g(x)} \cdot \frac{ g (x )-g (a) }{ x -a }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $g$ nach
Korollar 18.6
stetig in $a$ ist, konvergiert für
\mathl{x \rightarrow a}{} der linke Faktor gegen
\mathl{- \frac{1}{g(a)^2}}{} und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen
\mathl{g'(a)}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5) folgt aus (2) und (4).}
{}
Diese Regeln heißen \stichwort {Summenregel} {} (1), \stichwort {Produktregel} {} (2) und \stichwort {Quotientenregel} {} (5).
\inputfaktbeweis
{Polynom/K/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { c_0 +c_1 z+c_2 z^2+c_3 z^3 + \cdots + c_{n-1} z^{n-1} + c_n z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist in jedem Punkt
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{,}
und für die Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { c_1 +2c_2z +3c_3z^2 + \cdots + (n-1) c_{n-1} z^{n-2} + n c_n z^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt für die Potenfunktionen $z^n$ durch Induktion über $n$ aus der Produktregel und daraus mit Lemma 18.7.
Die folgende Regel heißt \stichwort {Kettenregel} {.}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {D} {und} {E} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
in ${\mathbb K}$ und seien
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
und
\maabbdisp {g} {E} { {\mathbb K}
} {}
Funktionen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(D)
}
{ \subseteq }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei $f$ in $a$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und $g$ sei in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
differenzierbar.}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbdisp {g \circ f} {D} { {\mathbb K}
} {}
in $a$ differenzierbar mit der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( g \circ f)' (a)
}
{ =} { g'(f(a)) \cdot f'(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 18.5
kann man
\mathdisp {f ( x) = f ( a) + f' ( a) ( x - a) + r (x) ( x - a)} { }
und
\mathdisp {g ( y) = g ( f(a)) + g' ( f(a)) ( y - f(a)) + s (y) ( y - f(a))} { }
schreiben. Daher ergibt sich
\zusatzklammer {wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{g(f(x))
}
{ =} { g ( f(a)) + g' ( f(a)) ( f(x) - f(a)) + s (f(x)) ( f(x) - f(a))
}
{ =} { g(f(a)) +g'(f(a)) { \left( f'(a)(x-a) +r(x)(x-a) \right) } \bruchhilfealign +s(f(x)) { \left( f'(a)(x-a) +r(x)(x-a) \right) }
}
{ =} { g(f(a)) +g'(f(a)) f'(a)(x-a) \bruchhilfealign + { \left( g'(f(a)) r(x) + s(f(x)) (f'(a) +r(x) ) \right) } (x-a)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die hier ablesbare Restfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t(x)
}
{ \defeq} { g'(f(a)) r(x) + s(f(x)) (f'(a) +r(x) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {FunktionUmkehrTangente.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine Veranschaulichung für die Ableitung der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt den an der Hauptdiagonalen gespiegelten Graphen und die Tangente wird mitgespiegelt.} }
\bildlizenz { FunktionUmkehrTangente.svg } {Jonathan Steinbuch} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {D} {und} {E} {}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
in ${\mathbb K}$ und sei
\maabbdisp {f} {D} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit einer stetigen
Umkehrfunktion
\maabbdisp {f^{-1}} {E} {D
} {}}
\faktvoraussetzung {Es sei $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
$f^{-1}$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }'(b)
}
{ =} { \frac{1}{f' (f^{-1} (b))}
}
{ =} { \frac{1}{f'(a)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten den Differenzenquotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{f^{-1} (y) - f^{-1} (b) }{y-b}
}
{ =} { \frac{f^{-1} (y) -a }{y-b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und müssen zeigen, dass der Limes für
\mathl{y \rightarrow b}{} existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in
\mathl{E \setminus \{b\}}{,} die gegen $b$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von
\mathl{f^{-1}}{} konvergiert auch die Folge mit den Gliedern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq }{ f^{-1}(y_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $a$. Wegen der Bijektivität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ f^{-1}(y_n) -a }{ y_n - b }
}
{ =} { \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ x_n -a }{ f(x_n) - f(a) }
}
{ =} { { \left( \lim_{ n \rightarrow \infty} \frac{ f(x_n) - f(a) }{x_n -a} \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.
\inputbeispiel{}
{
Die Funktion
\maabbeledisp {f^{-1}} {\R_+ } {\R_+
} {x} { \sqrt{x}
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der Funktion $f$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {eingeschränkt auf $\R_+$} {} {.}
Deren
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
in einem Punkt $a$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a)
}
{ = }{2a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 18.10
gilt daher für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (b)
}
{ =} { \frac{1}{f'(f^{-1} (b))}
}
{ =} { \frac{1}{2 \sqrt{b} }
}
{ =} { \frac{1}{2} b^{-\frac{1}{2} }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
Die Funktion
\maabbeledisp {f^{-1}} {\R } {\R
} {x} { x^{\frac{1}{3} }
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der Funktion $f$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Deren Ableitung in $a$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a)
}
{ = }{ 3a^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden. Nach
Satz 18.10
ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (b)
}
{ =} { \frac{1}{f'(f^{-1} (b))}
}
{ =} { \frac{1}{3 { \left( b^{\frac{1}{3} } \right) }^{2} }
}
{ =} { \frac{1}{3} b^{-\frac{2}{3} }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.
}
\zwischenueberschrift{Höhere Ableitungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {differenzierbar}{} ist, wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f'(a)}{} von $f$ in $a$ existiert. Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {f'} {D} { {\mathbb K}
} {x} {f'(x)
} {,}
heißt die \definitionswort {Ableitung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Ableitungsfunktion}{}} {} {}
von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ $n$-mal \definitionswort {differenzierbar}{} ist, wenn $f$
\mathl{(n-1)}{-}mal differenzierbar ist und die
\mathl{(n-1)}{-}te Ableitung
\mathl{f^{(n-1)}}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist. Die Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{(n)} (z)
}
{ \defeq} { (f^{(n-1)})' (z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man dann die $n$-te \definitionswort {Ableitung}{} von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {n-mal stetig differenzierbar}{} ist, wenn $f$
\definitionsverweis {n-mal differenzierbar}{}{}
ist und die
\definitionsverweis {n-te Ableitung}{}{}
$f^{(n)}$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}