Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 18

Differenzierbare Funktionen

In dieser Vorlesung betrachten wir Funktionen

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },$

wobei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ eine offene Menge in ${}{\mathbb {K} }$ ist. Das ist eine Menge derart, dass es zu jedem ${}a\in D$ auch eine offene Umgebung ${}U{\left(a,r\right)}$, ${}r>0$, gibt, die ganz in ${}D$ liegt. Typische Beispiele sind ${}D={\mathbb {K} },\,U{\left(a,r\right)},\,{\mathbb {K} }\setminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graphen durch die beiden Punkte ${}(a,f(a))$ und ${}(x,f(x))$, diese Situation wird auch durch das Steigungsdreieck dargestellt. Für ${}x=a$ ist dieser Differenzenquotient nicht definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für ${}x\rightarrow a$ existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der „Tangente“.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Die Ableitung in einem Punkt ${}a$ ist, falls sie existiert, ein Element in ${}{\mathbb {K} }$. Häufig nimmt man die Differenz ${}h=x-a$ als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt ${}h$ gegen ${}0$ gehen, d.h. man betrachtet

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Die Bedingung ${}x\in D\setminus \{a\}$ wird dann zu ${}a+h\in D$, ${}h\neq 0$. Wenn die Funktion ${}f$ einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient ${}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$ die (effektive) Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten ${}a$ und ${}x$ und ${}f'(a)$ ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt ${}a$.

Beispiel

Es seien ${}s,c\in {\mathbb {K} }$ und sei

$\alpha \colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto sz+c,$

eine sogenannte affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt ${}a\in {\mathbb {K} }$ betrachtet man

${}{\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {s(x-a)}{x-a}}=s\,.$

Dies ist konstant gleich ${}s$, sodass der Limes für ${}x$ gegen ${}a$ existiert und gleich ${}s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich ${}s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto z^{2}.$

Der Differenzenquotient zu ${}a$ und ${}a+h$ ist

${}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$

Der Limes davon für ${}h$ gegen ${}0$ ist ${}2a$. Die Ableitung ist daher ${}f'(a)=2a$.

Lineare Approximierbarkeit

Satz

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion.

Dann ist ${}f$ in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion

$r\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,.$

Beweis

Wenn ${}f$ differenzierbar ist, so setzen wir

${}s:=f'(a)\,.$

Für die Funktion ${}r$ muss notwendigerweise

${}r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,$

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,$

und hat den Wert ${}0$. Dies bedeutet, dass ${}r$ in ${}a$ stetig ist.
Wenn umgekehrt ${}s$ und ${}r$ mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für ${}x\neq a$ die Beziehung

${}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.$

Da ${}r$ stetig in ${}a$ ist, muss auch der Limes links für ${}x\rightarrow a$ existieren.

$\Box$

Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung

$D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(a)+f'(a)(x-a),$

heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}a$. Die durch ${}f(a)$ gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.

Korollar

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion, die im Punkt ${}a$ differenzierbar sei.

Dann ist ${}f$ stetig in ${}a$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 18.5.

$\Box$

Ableitungsregeln

Eine Veranschaulichung der Produktregel: Der Zuwachs eines Flächeninhalts entspricht der Summe der beiden Produkte aus Seitenlänge und Seitenlängezuwachs. Für den infinitesimalen Zuwachs ist das Produkt der beiden Seitenlängenzuwächse irrelevant.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

1. Die Summe ${}f+g$ ist differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ ist differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

3. Für ${}c\in {\mathbb {K} }$ ist auch ${}cf$ in ${}a$ differenzierbar mit

   ${}(cf)'(a)=cf'(a)\,.$

4. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}D$ besitzt, so ist ${}1/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}\left({\frac {1}{g}}\right)'(a)={\frac {-g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

5. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}D$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

   ${}\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Beweis

(1). Wir schreiben ${}f$ bzw. ${}g$ mit den in Satz 18.5 formulierten Objekten, also

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$

und

${}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$

Summieren ergibt

${}f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$

Dabei ist die Summe ${}r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$.
(2). Wir gehen wieder von

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$

und

${}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,$

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

${}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$

Aufgrund von Lemma 12.12 für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert ${}0$ für ${}x=a$.
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung ${}0$ ist.
(4). Es ist

${}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.$

Da ${}g$ nach Korollar 18.6 stetig in ${}a$ ist, konvergiert für ${}x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen ${}-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ in ${}a$ konvergiert der rechte Faktor gegen ${}g'(a)$.
(5) folgt aus (2) und (4).

$\Box$

Diese Regeln heißen Summenregel (1), Produktregel (2) und Quotientenregel (5).

Korollar

Eine Polynomfunktion

${}f=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\cdots +c_{n-1}z^{n-1}+c_{n}z^{n}\,$

ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt

${}f'(z)=c_{1}+2c_{2}z+3c_{3}z^{2}+\cdots +(n-1)c_{n-1}z^{n-2}+nc_{n}z^{n-1}\,.$

Beweis

Dies folgt für die Potenfunktionen ${}z^{n}$ durch Induktion über ${}n$ aus der Produktregel und daraus mit Lemma 18.7.

$\Box$

Die folgende Regel heißt Kettenregel.

Satz

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und seien

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in

${}b=f(a)\,$

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

${}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$

Beweis

Aufgrund von Satz 18.5 kann man

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(y)=g(f(a))+g'(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$

schreiben. Daher ergibt sich

(wenn man ${}y$ durch ${}f(x)$ ersetzt)

${}{\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}$

Die hier ablesbare Restfunktion

${}t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\,$

ist stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$.

$\Box$

Eine Veranschaulichung für die Ableitung der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion besitzt den an der Hauptdiagonalen gespiegelten Graphen und die Tangente wird mitgespiegelt.

Satz

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

$f\colon D\longrightarrow E$

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D$

Es sei ${}f$ in

${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b=f(a)$ differenzierbar mit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}}={\frac {f^{-1}(y)-a}{y-b}}\,$

und müssen zeigen, dass der Limes für ${}y\rightarrow b$ existiert und den behaupteten Wert annimmt. Es sei dazu ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}E\setminus \{b\}$, die gegen ${}b$ konvergiert. Aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit von ${}f^{-1}$ konvergiert auch die Folge mit den Gliedern ${}x_{n}:=f^{-1}(y_{n})$ gegen ${}a$. Wegen der Bijektivität ist ${}x_{n}\neq a$ für alle ${}n$. Damit ist

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f^{-1}(y_{n})-a}{y_{n}-b}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}-a}{f(x_{n})-f(a)}}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\right)}^{-1}\,,$

wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert.

$\Box$

Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion ${}f$ mit ${}f(x)=x^{2}$ (eingeschränkt auf ${}\mathbb {R} _{+}$). Deren Ableitung in einem Punkt ${}a$ ist ${}f'(a)=2a$. Nach Satz 18.10 gilt daher für ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ die Beziehung

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{2{\sqrt {b}}}}={\frac {1}{2}}b^{-{\frac {1}{2}}}\,.$

Im Nullpunkt ist ${}f^{-1}$ nicht differenzierbar.

Die Funktion

$f^{-1}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{\frac {1}{3}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion ${}f$ mit ${}f(x)=x^{3}$ Deren Ableitung in ${}a$ ist ${}f'(a)=3a^{2}$, dies ist für ${}a\neq 0$ von ${}0$ verschieden. Nach Satz 18.10 ist für ${}b\neq 0$ somit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{3{\left(b^{\frac {1}{3}}\right)}^{2}}}={\frac {1}{3}}b^{-{\frac {2}{3}}}\,.$

Im Nullpunkt ist ${}f^{-1}$ nicht differenzierbar.

Höhere Ableitungen

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in D$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

$f'\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f'(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ n-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.

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