Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 17

Logarithmen

Satz

Die reelle Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

ist stetig und stiftet eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} _{+}$.

Beweis

Die Stetigkeit folgt aus Korollar 16.10. Nach Korollar 15.8  (4) liegt das Bild in ${}\mathbb {R} _{+}$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Korollar 15.8  (3), woraus wegen Korollar 15.8  (2), folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich ${}\mathbb {R} _{+}$. Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 15.8  (6).

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Definition

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

Satz

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt

${}\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}$.

Beweis

Dies folgt aus Satz 17.1, Satz 13.6, Satz 15.7 und Korollar 15.8.

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Die Exponentialfunktionen für verschiedene Basen

Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ von ${}z\in {\mathbb {C} }$ als

${}b^{z}:=\exp(z\ln b)\,.$

Aufgabe 17.1 zeigt, dass für reelle Argumente diese Definition mit der aus der 14.ten Vorlesung übereinstimmt.

Satz

Für die Exponentialfunktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto a^{z},$

zur Basis ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ gelten die folgenden Rechenregeln (dabei seien ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ und ${}z,w\in {\mathbb {C} }$, bei (4) sei zusätzlich ${}z\in \mathbb {R}$).

1. Es ist ${}a^{z+w}=a^{z}\cdot a^{w}$.
2. Es ist ${}a^{-z}={\frac {1}{a^{z}}}$.
3. Es ist ${}(ab)^{z}=a^{z}b^{z}$.
4. Es ist ${}(a^{z})^{w}=a^{zw}$.

Beweis

Siehe Aufgabe 17.2.

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Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

Logarithmen zu verschiedenen Basen

Satz

Die Logarithmen zur Basis ${}b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.

1. Es ist ${}\log _{b}(b^{x})=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis ${}b$ ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 17.3.

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Summierbarkeit

Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe absolut konvergent ist, siehe Aufgabe 9.16 und Aufgabe 9.29. Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe ${}\sum _{p{\text{ Primzahl}}}{\frac {1}{p}}$ aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte ${}a_{i}b_{j}$, ${}(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, wobei eben ${}\mathbb {N} ^{2}$ die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von Cauchy-Produkt werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Wir werden diese Theorie nicht systematisch entwickeln, sondern nur den großen Umordnungssatz beweisen, den wir sogleich für das Entwickeln einer Potenzreihen in einem neuen Entwicklungspunkt benötigen. Die Familie sei als ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, gegeben. Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}\,.$

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen ${}a_{E}$ Bezug nehmen.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$. Im summierbaren Fall heißt ${}s$ die Summe der Familie.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

${}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$.

Lemma

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$, und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

${}{\begin{aligned}\vert {a_{D}}\vert &=\vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s-a_{E_{0}}+s}\vert \\&\leq \vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&=\vert {a_{E_{0}\cup D}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung ${}\vert {a_{D}}\vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

${}x_{n}:=a_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}a_{i}\,.$

Für ${}k\geq m\geq n$ gilt

${}\vert {x_{k}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{i\in E_{k}}a_{i}-\sum _{i\in E_{m}}a_{i}}\vert =\vert {a_{E_{k}\setminus E_{m}}}\vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}{\mathbb {C} }$ konvergent gegen ein ${}s\in {\mathbb {C} }$.
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$. Es sei dazu ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1/n\leq \epsilon /2$. Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben ${}\vert {x_{n}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Für jedes endliche ${}E\supseteq E_{n}$ schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {a_{E}-s}\vert &=\vert {a_{E_{n}}+a_{D}-s}\vert \\&\leq \vert {a_{E_{n}}-s}\vert +\vert {a_{D}}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

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Korollar

Es sei ${}a_{i}$ , ${}i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und ${}J\subseteq I$ eine Teilmenge.

Dann ist auch ${}a_{i}$ , ${}i\in J$, summierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 17.10.

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Der große Umordnungssatz

Satz

Es sei ${}a_{i}$, ${}i\in I$, eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe ${}s$. Es sei ${}J$ eine weitere Indexmenge und zu jedem ${}j\in J$ sei eine Teilmenge ${}I_{j}\subseteq I$ gegeben mit ${}I=\bigcup _{j\in J}I_{j}$ und ${}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset$ für ${}j\neq j'$.

Dann sind die Teilfamilien ${}a_{i}$, ${}i\in I_{j}$, summierbar und für ihre Summen ${}s_{j}=\sum _{i\in I_{j}}a_{i}$ gilt, dass die Familie ${}s_{j}$, ${}j\in J$, summierbar ist mit

${}s=\sum _{j\in J}s_{j}\,.$

Beweis

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Lemma 17.10. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ mit

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,$

für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$. Es gibt eine endliche Teilmenge ${}F_{0}\subseteq J$ derart, dass

${}E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,$

ist. Wir behaupten, dass dieses ${}F_{0}$ für die Familie ${}s_{j}$ , ${}j\in J$, die Summationseigenschaft für ${}\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu ${}F\subseteq J$ mit ${}F_{0}\subseteq F$ endlich und ${}n={\#\left(F\right)}$. Da die Familien ${}a_{i}$ , ${}i\in I_{j}$, summierbar mit den Summen ${}s_{j}$ sind, gibt es für jedes ${}j\in F$ ein endliches ${}G_{j,0}\subseteq I_{j}$ mit

${}\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,$

für alle endlichen ${}G_{j}\subseteq I_{j}$ mit ${}G_{j,0}\subseteq G_{j}$. Wir wählen nun für jedes ${}j\in F$ ein solches ${}G_{j}$ so, dass zusätzlich ${}E_{0}\cap I_{j}\subseteq G_{j}$ gilt. Dann ist ${}E_{0}\subseteq E:=\bigcup _{j\in F}G_{j}$ und daher ${}\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Der Entwicklungssatz für Potenzreihen

Satz

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$.

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf ${}U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.

Die Koeffizienten von ${}h$ sind

${}d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$

und insbesondere ist

${}d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}a=0$, ${}b\in U{\left(0,R\right)}$ und ${}z\in U{\left(b,R-\vert {b}\vert \right)}$. Wir betrachten die Familie

$x_{ni}=c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i},\,n\in \mathbb {N} ,\,i\in \{0,1,\ldots ,n\}.$

 Wir zeigen zuerst, dass diese Familie

summierbar ist. Dies folgt aus der Abschätzung (unter Verwendung von Aufgabe 17.14)

${}{\begin{aligned}\sum _{n=0,\ldots ,N,\,i=0,\ldots ,n}\vert {c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}}\vert &\leq \sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\vert {z-b}\vert ^{i}\vert {b}\vert ^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{N}\vert {c_{n}}\vert {\left(\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert \right)}^{n}\end{aligned}}$

und daraus, dass wegen ${}\vert {z-b}\vert +\vert {b}\vert <R$ gemäß Lemma 16.7 die rechte Seite für beliebiges ${}N$ beschränkt ist.
Wegen der Summierbarkeit gelten aufgrund des großen Umordnungssatzes die Gleichungen

${}{\begin{aligned}f(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}((z-b)+b)^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\right)}\\&=\sum _{n\in \mathbb {N} ,\,i=0,\ldots ,n}c_{n}{\binom {n}{i}}(z-b)^{i}b^{n-i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}b^{n-i}\right)}(z-b)^{i}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}.\end{aligned}}$

$\Box$

Fußnoten

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