Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 16

Funktionenfolgen

Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion

Wir haben das letzte Mal gesehen, dass die Exponentialreihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$ für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ konvergiert. Für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ stellt also die Polynomfunktion

${}f_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n!}}\,$

eine „approximierende Funktion“ für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von ${}z$ (bei fixiertem ${}n$). In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion stetig ist.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

(in ${}{\mathbb {K} }$) konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

${}f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)\,$

eine sogenannte Grenzfunktion ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ definiert.

Die Funktionenfolge ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}z^{k}$ konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion. Selbst wenn (bei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$) sämtliche Funktionen ${}f_{n}$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.

Ein ähnliches Beispiel.

Beispiel

Es sei ${}T=[0,1]$ und

$f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n}.$

Für jedes ${}x\in [0,1]$, ${}x<1$, konvergiert die Folge ${}{\left(x^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe 8.16 gegen ${}0$ und für ${}x=1$ liegt die konstante Folge zum Wert ${}1$ vor. Die Grenzfunktion ist also

${}f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x<1\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle ${}f_{n}$ stetig sind.

Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ mit

$d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T$

gibt.

Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion ${}f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$

eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert.

Dann ist ${}f$ stetig.

Beweis

Sei ${}x\in T$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}d{\left(f_{n}(y),f(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle ${}n\geq n_{0}$ und alle ${}y\in T$. Wegen der Stetigkeit von ${}f_{n_{0}}$ in ${}x$ gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}\leq \epsilon /3$ für alle ${}y\in T$ mit ${}d{\left(x,y\right)}\leq \delta$. Für diese ${}y$ gilt somit

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),f(y)\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{n_{0}}(x)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(x),f_{n_{0}}(y)\right)}+d{\left(f_{n_{0}}(y),f(y)\right)}\\&\leq \epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Das Konvergenzkriterium von Weierstraß

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Die folgende Aussage heißt das Konvergenzkriterium von Weierstraß. Es geht darin um Funktionenfolgen ${}f_{n}$, die als Partialsummen ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}$ von Funktionen ${}g_{k}$ gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.

Satz

Es sei ${}T$ eine Menge und sei

$g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktionenfolge mit

${}\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ (also die Funktionenfolge ${}f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}$) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Beweis

Sei ${}x\in T$. Wegen ${}\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \Vert {g_{k}}\Vert$ ist aufgrund des Majorantenkriteriums die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)$ absolut konvergent, und das bedeutet, dass die Funktionenreihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ punktweise absolut konvergiert.
Wir setzen ${}f_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)$ und

${}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}(x)\,.$

Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert. Dazu sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums für Reihen gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}\sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}n\geq n_{0}$. Damit haben wir für ${}n\geq n_{0}$ und jedes ${}x\in T$ insgesamt die Abschätzung

${}\vert {f_{n}(x)-f(x)}\vert =\vert {\sum _{k=n+1}^{\infty }g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\vert {g_{k}(x)}\vert \leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert \leq \epsilon \,.$

$\Box$

Konvergenz von Potenzreihen

Es seien ${}c_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, komplexe Zahlen, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}$ die zugehörige Potenzreihe im Entwicklungspunkt ${}a$. Wir betrachten die Funktionenfolge ${}f_{n}$ mit

$f_{n}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sum _{k=0}^{n}c_{k}(z-a)^{k}.$

Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ gleichmäßige Konvergenz vorliegt.

Lemma

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen und ${}a\in {\mathbb {C} }$. Die Potenzreihe

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

sei für eine komplexe Zahl ${}z=b$, ${}b\neq a$, konvergent.

Dann ist für jeden reellen Radius ${}r$ mit ${}0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.

Beweis

Wir werden Satz 16.6 auf ${}T=B\left(a,r\right)$ anwenden. Wegen der Konvergenz für ${}z=b$ sind die Summanden ${}c_{n}(b-a)^{n}$ nach Lemma 9.6 eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein ${}M>0$ mit

${}\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \leq M\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Daher gelten für jedes ${}z\in B\left(a,r\right)$ die Abschätzungen

${}\vert {c_{n}(z-a)^{n}}\vert =\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M\cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M{\left({\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}\right)}^{n}\,.$

Dabei ist nach Voraussetzung

${}{\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}<1\,.$

Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor ${}M$) die Summanden einer nach Satz 9.13 konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.

$\Box$

Definition

Für eine Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

heißt

${\operatorname {sup} \,(\vert {b-a}\vert ,b\in {\mathbb {C} },\,\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(b-a)^{n}{\text{ konvergiert}})}$

der Konvergenzradius der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}=\infty$.

Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreisscheibe (die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle ${}r=0$ und ${}r=\infty$ erlaubt sind) um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall ${}r=0$ ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius (einschließlich dem Fall ${}r=\infty$) sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.

Korollar

Es sei

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$.

Dann stellt die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der offenen Kreisscheibe ${}U{\left(a,r\right)}$ eine stetige Funktion dar.

Beweis

Jeder Punkt ${}z\in U{\left(a,r\right)}$ liegt im Innern einer abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,s\right)\subseteq U{\left(a,r\right)}$ mit ${}s<r$. Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach Lemma 16.7 gleichmäßig konvergent, daher ist nach Lemma 16.4 die Grenzfunktion stetig.

$\Box$

Korollar

Die Exponentialreihe und die trigonometrischen Reihen Sinus und Kosinus

besitzen einen unendlichen Konvergenzradius, und die komplexe Exponentialfunktion, die komplexe Sinusfunktion und die komplexe Kosinusfunktion sind stetig.

Beweis

Dies folgt aus Satz 15.5 und Korollar 16.9.

$\Box$

Korollar

Für die (durch die Exponentialreihe definierte) reelle Exponentialfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

gilt

$\exp x=(\exp 1)^{x}.$

Beweis

Dies folgt aus Satz 15.7, aus Korollar 16.10 und aus Aufgabe 14.25.

$\Box$

Die reelle Zahl ${}\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }1/n!$ stimmt mit der als ${}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}$ eingeführten eulerschen Zahl überein, was in Korollar 20.14 bewiesen wird. Aufgrund dieses Sachverhaltes und der vorstehenden Aussage schreiben wir häufig ${}e^{z}=\exp z$, und zwar auch für komplexe Argumente.

Der Identitätssatz für Potenzreihen

Lemma

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum ${}r$ sei. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion ${}f+g$ dar.
2. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit ${}d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion ${}fg$ dar.

Beweis

Siehe Aufgabe 16.20.

$\Box$

Satz

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein ${}\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen

$f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

übereinstimmen.

Dann ist ${}a_{n}=b_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Beweis

Wir betrachten die Differenzreihe ${}h=f-g=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}-b_{n}$. Deren zugehörige Funktion ist nach Voraussetzung und nach Lemma 16.12  (1) auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ die Nullfunktion. Nach Aufgabe 16.28 ist daher ${}c_{n}=0$, also ${}a_{n}=b_{n}$.

$\Box$

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