Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}T$ eine nichtleere Menge und ${}f_{n}\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ die konstante Funktion mit dem Wert ${}x_{n}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent.
2. Die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist punktweise konvergent.
3. Die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist gleichmäßig konvergent.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine endliche Menge und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktionenfolge auf ${}T$. Zeige, das ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann punktweise konvergiert, wenn ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten auf einem reellen Intervall ${}[a,b]$ die Funktionenfolge

$f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge

${}f_{n}:={\frac {1}{n}}f\,$

zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Funktionenfolge ${}f_{n}$ konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.
2. Die Konvergenz ist genau dann gleichmäßig, wenn ${}f$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge ${}f_{n}$, die durch

${}f_{n}(x):={\begin{cases}f(x),{\text{ wenn }}x\in [-n,n],\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}f_{n}$ punktweise gegen ${}f$ konvergiert.
2. Charakterisiere die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge.

Aufgabe

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ betrachten wir die Funktionen

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f_{n}(x),$

die durch

${}f_{n}(x)={\begin{cases}0,{\text{ für }}x\leq 0,\\nx{\text{ für }}0<x\leq 1/n,\\2-nx{\text{ für }}1/n<x\leq 2/n,\\0,{\text{ für }}x>2/n\,.\end{cases}}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n},g_{n},h_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionenfolgen mit

${}f_{n}(x)\leq g_{n}(x)\leq h_{n}(x)\,$

für alle ${}x\in T$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$. Die Funktionenfolgen ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(h_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ seien gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${}{\left(g_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass sämtliche ${}f_{n}$ nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.

Aufgabe *

Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ die Funktionenfolge ${}f_{n}$ auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ mit

${}f_{n}(x):={\frac {\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}}\,.$

1. Berechne die Funktionswerte ${}f_{n}(x)$ für

   ${}x=11,793105\,$

   und für ${}n=0,1,2$.

2. Skizziere die Funktionen ${}f_{1}$ und ${}f_{2}$ auf dem Intervall ${}[0,1]$.
3. Begründe, dass die ${}f_{n}$ nicht stetig sind.
4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe *

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Zeige, dass ${}f$ gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}T$ eine Menge und seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge

$f_{n}+g_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },\,t\longmapsto f_{n}(t)+g_{n}(t),$

gleichmäßig konvergent ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass ${}M$ ein komplexer Vektorraum ist.

Aufgabe *

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}r>0$. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {N}$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

mit

${}b_{n}:={\begin{cases}a_{n},\,{\text{ falls }}n\in I,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius ${}\geq r$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Konvergenzradius der geometrischen Reihe.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius der um ${}a\in {\mathbb {C} }$ „verschobenen“ Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Wir betrachten die Folge ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen ${}0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.

b) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen ${}a>0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${}{\frac {1}{a}}$.

c) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${}0$.

Aufgabe *

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${}z$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}$

konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialreihe auf ${}{\mathbb {C} }$ nicht gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es seien ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und ${}g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum ${}r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion ${}f+g$ dar.
2. Die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit ${}d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf ${}U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion ${}fg$ dar.

Aufgabe *

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}c_{n}=0$ für alle ungeraden Indizes eine gerade Funktion darstellt.

Für die Umkehrung der beiden vorstehenden Aufgaben verwende man Aufgabe 16.28 weiter unten.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ eine konvergente Potenzreihe, die eine ungerade Funktion darstelle. Zeige, dass ${}c_{k}=0$ für alle geraden Indizes ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ eine konvergente Potenzreihe, die eine gerade Funktion darstelle. Zeige, dass ${}c_{k}=0$ für alle ungeraden Indizes ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Funktionenfolge

$f_{n}\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n}.$

Zeige, dass diese Folge für ${}I=\mathbb {R} _{\geq 0}$ punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen

$I=\mathbb {R} _{\geq 0},\,\mathbb {R} _{+},\,[1,\infty ],\,[{\frac {1}{5}},5],\,]0,1],\,[0,1].$

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}.$

Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius ${}1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle ${}x\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {x}\vert =1$, konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und

${}M={\left\{f:T\rightarrow {\mathbb {C} }\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${}T$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle ${}f\in M$.
2. ${}\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}f=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {C} }$ und ${}f\in M$ gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für ${}g,f\in M$ gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

eine Potenzreihe, die für ein ${}\epsilon >0$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ konvergiere und dort die Nullfunktion darstelle. Zeige, dass dann ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist (d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}d\in \mathbb {N}$ und sei für jedes ${}i\in \{0,1,\ldots ,d\}$ eine konvergente Folge

${\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

in ${}{\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${}c_{i}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ von Polynomen vom Grad ${}\leq d$, die durch

${}f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,r\right)$ gleichmäßig gegen

${}f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,$

konvergiert.