Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\,\,{\text{ und }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$

Aufgabe *

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ , ${}\vert {z}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von ${}z$) die Summen der beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k+1}.$

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4}$ in der dritten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{3}\,.$

Aufgabe *

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Aufgabe *

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

1. Zeige, dass jedes Produkt ${}a_{i}b_{j}$ genau zu einem ${}d_{k}$ beiträgt.
2. Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

nicht nach oben beschränkt ist und dass ${}0$ das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ eine konvergente Reihe mit ${}c_{k}\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass die durch die Reihenglieder

${}a_{n}:=c_{2n}+c_{2n+1}\,$

definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu ${}z^{6}$ in der Produktreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.

Aufgabe *

Zeige, dass die Sinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

nur reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Kosinusfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

nur reelle Nullstellen besitzt.

Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt periodisch mit Periode ${}L>0$, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(x+L)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion und

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ beschränkt ist.

Aufgabe *

Es seien

$f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$. Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4},z^{5}$ in der vierten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{4}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}z\in {\mathbb {C} }$ sei

$R_{N+1}(z)=\exp z-\sum _{n=0}^{N}{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {z}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

$\vert {R_{N+1}(z)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {z}\vert ^{N+1}$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von

$\exp 1.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes ${}d\in \mathbb {N}$ die Folge

${\left({\frac {\exp n}{n^{d}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit

${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass ${}f$ gleichmäßig stetig ist.

Fußnoten