Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 14
- Übungsaufgaben
Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!
Zeige, dass eine beschränkte, monotone, stetige Funktion
auf einen Intervall auch gleichmäßig stetig ist.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
derart, dass das Bild von beschränkt ist und nicht gleichmäßig stetig ist.
Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion
derart, dass keine stetige Fortsetzung
existiert.
Es sei eine reelle Folge und sei
Die Funktion sei durch
festgelegt. Zeige, dass genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn die Folge eine Cauchy-Folge ist.
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 8.19
hilfreich.
Es seien und reelle Zahlen und sei
das dadurch definierte Reckteck in . Zeige, dass eine stetige Funktion
gleichmäßig stetig ist.
Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
und Werte gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung
die auf jedem Teilintervall durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte und durch eine gerade Strecke verbindet.
Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion
approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man nimmt.
Es sei ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung
und Werte gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.
Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall aus.
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Vergleiche die beiden Zahlen
Vergleiche die drei Zahlen
Vergleiche
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen und folgere daraus, welche größer ist.
Zeige, dass eine Exponentialfunktion
aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.
Es sei fixiert. Zeige
Es sei
eine stetige Funktion , die die Gleichung
für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.
Es sei
eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige
Skizziere die Situation.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
mit und mit für alle , die von verschieden ist.
In den folgenden Aufgaben bedeutet die Menge der stetigen Funktionen von nach (für eine Teilmenge ) und den abgeschlossenen Vollkreis in mit Mittelpunkt und Radius
(die Randpunkte gehören also dazu).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf abgebildet. Zeige, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion
Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein reelles Intervall und
eine Funktion. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem gibt es eine Unterteilung
derart, dass die lineare Interpolation (zu dieser Unterteilung und zu ) die Eigenschaft
erfüllt.
(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr seiner Schlauheit.
- Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
- Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.
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