Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 15

Cauchy-Produkt von Reihen

Definition

Zu Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ komplexer Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Insbesondere in Hinblick auf Aufgabe 15.3 ist es wichtig, dass das Cauchy-Produkt sich auf Reihen bezieht, deren Indizierung bei ${}0$ beginnt.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

Beweis

Wir müssen für die Partialsummen

$x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$

zeigen, dass ${}z_{n}$ gegen den Limes der Folge ${}{\left(x_{n}y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Es ist

${}{\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}$

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und ${}\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert$ und ${}\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert$ nach Aufgabe 9.27 Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe 6.5 gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung ${}\vert {c_{k}}\vert \leq \sum _{i=0}^{k}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{k-i}}\vert$.

$\Box$

Potenzreihen

Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von komplexen Zahlen und ${}z$ eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

die Potenzreihe in ${}z$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$, ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man ${}z$ variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in ${}z$ darstellt.

Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}0$. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ ist ein Ausdruck der Form

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$, die für

${}\vert {z}\vert <1\,$

konvergiert und dort die Funktion ${}1/(1-z)$ darstellt, siehe Satz 9.13. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.

Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion

Definition

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die Exponentialreihe in ${}z$.

Dies ist also die Reihe

$1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{4}}{24}}+{\frac {z^{5}}{120}}+{\frac {z^{6}}{720}}+{\frac {z^{7}}{5040}}+\cdots .$

Satz

Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist die Exponentialreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

absolut konvergent.

Beweis

Für ${}z=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${}\vert {\frac {\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac {z^{n}}{n!}}}\vert =\vert {\frac {z}{n+1}}\vert ={\frac {\vert {z}\vert }{n+1}}\,.$

Dies ist für ${}n\geq 2\vert {z}\vert$ kleiner als ${}1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

$\Box$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

 Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die Exponentialfunktion zur Basis

${}\exp 1=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots \,$

ist, und dass ${}\exp 1$ mit der früher eingeführten eulerschen Zahl ${}e$ übereinstimmt (Korollar 16.11 und Korollar 20.14).

Die folgende Aussage nennt man die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion.

Satz

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

mit ${}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {z^{i}}{i!}}{\frac {w^{n-i}}{(n-i)!}}$. Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${}n$-te Summand der Exponentialreihe von ${}z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

${}{\frac {(z+w)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}z^{i}w^{n-i}=c_{n}\,,$

sodass die beiden Seiten übereinstimmen.

$\Box$

Korollar

Die Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\exp 0=1$.
2. Für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist ${}\exp \left(-z\right)=(\exp z)^{-1}$. Insbesondere ist ${}\exp z\neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}\exp n=(\exp 1)^{n}$.
4. Für reelles ${}z$ ist ${}\exp z\in \mathbb {R} _{+}$.
5. Für reelle Zahlen ${}z>0$ ist ${}\exp z>1$ und für ${}z<0$ ist ${}\exp z<1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${}\exp z\cdot \exp \left(-z\right)=\exp \left(z-z\right)=\exp 0=1\,$

aufgrund von Satz 15.7.
(3) folgt aus Satz 15.7 und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${}\exp z=\exp \left({\frac {z}{2}}+{\frac {z}{2}}\right)=\exp {\frac {z}{2}}\cdot \exp {\frac {z}{2}}={\left(\exp {\frac {z}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

(5). Für ${}x>0$ ist

${}\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}>1\,,$

da alle Summanden positiv sind. Wegen (4) ist ${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass der andere Faktor ${}\leq 1$ sein muss.
(6). Für reelle ${}x>y$ ist ${}x-y>0$ und daher nach (5) ${}\exp \left(x-y\right)>1$, also

${}\exp x=\exp \left(x-y+y\right)=\exp \left(x-y\right)\exp y>\exp y\,.$

$\Box$

Die trigonometrischen Reihen

Definition

Für ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe und

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}z$.

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes ${}z$ absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

$\cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}{\text{ und }}\sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

heißen Kosinus und Sinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.

Satz

Die Funktionen

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$

und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,$

besitzen für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ folgende Eigenschaften.

1. Für ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ ist

   ${}\exp z=(\exp x)(\cos y+{\mathrm {i} }\sin y)\,.$

   Speziell gilt die eulersche Formel

   ${}\exp {\mathrm {i} }y=\cos y+{\mathrm {i} }\sin y\,.$

2. Es ist ${}\cos 0=1$ und ${}\sin 0=0$.
3. Es ist ${}\cos \left(-z\right)=\cos z$ und ${}\sin \left(-z\right)=-\sin z$.
4. Es ist

   ${}\cos z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2}}\,$

   und

   ${}\sin z={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)-\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)}{2{\mathrm {i} }}}\,.$

5. Es gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(z+w)=\cos z\,\cos w-\sin z\,\sin w\,$

   und

   ${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,.$

6. Es gilt

   ${}(\cos z)^{2}+(\sin z)^{2}=1\,.$

Beweis

(1). Aufgrund von Satz 15.7 gilt

${}\exp(x+{\mathrm {i} }y)=\exp x\cdot \exp \left({\mathrm {i} }y\right)\,,$

sodass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe 15.10 und Lemma 9.5  (1) gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\mathrm {i} }y)^{n}}{n!}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {({\mathrm {i} }y)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }^{2k+1}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\mathrm {i} }(-1)^{k}{\frac {y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k}}{(2k)!}}+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}y^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\&=\cos y+{\mathrm {i} }\,\sin y.\end{aligned}}$

(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Nach (4) ist

${}{\begin{aligned}\cos \left(z+w\right)&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }(z+w)\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }(z+w)\right)}{2}}\\&={\frac {\exp \left({\mathrm {i} }z\right)\exp \left({\mathrm {i} }w\right)+\exp \left(-{\mathrm {i} }z\right)\exp \left(-{\mathrm {i} }w\right)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}((\cos z+{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w+{\mathrm {i} }\sin w)+(\cos z-{\mathrm {i} }\sin z)(\cos w-{\mathrm {i} }\sin w))\\&={\frac {1}{2}}(\cos z\cos w+{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w\\&\,\,\,\,\,\,+\cos z\cos w-{\mathrm {i} }(\cos z\sin w+\sin z\cos w)-\sin z\sin w)\\&=\cos z\cos w-\sin z\sin w.\end{aligned}}$

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf ${}w=-z$ und aufgrund von (2) ergibt sich

${}1=\cos 0=\cos \left(z-z\right)=\cos z\cos \left(-z\right)-\sin z\sin \left(-z\right)=\cos z\cos z+\sin z\sin z\,.$

$\Box$

Für reelle ${}z$ sind ${}\sin z$ und ${}\cos z$ wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles ${}z$ das Paar ${}(\cos z,\sin z)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als ${}(\cos z,\sin z)$ schreiben lässt, wobei man ${}z$ als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode ${}2\pi$ auf, wobei wir die Kreiszahl ${}\pi$ eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.

Fußnoten

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