Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Konvexe Funktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine konvexe Teilmenge.} }
\bildlizenz { Convex set.svg } {Oleg Alexandrov} {} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_Convex_set.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine nichtkonvexe Teilmenge.} }
\bildlizenz { Non Convex set.svg } {Kilom691} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f)
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in T \times \R \mid y \leq f(x) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Subgraphen}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E(f)
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in T \times \R \mid y \geq f(x) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Epigraphen}{} der Funktion.
}
Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die $x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Convex supergraph.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.} }
\bildlizenz { Convex supergraph.svg } {DieBuche} {} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {konvex}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Epigraph}{}{}
\mathl{E(f)}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Man sagt, dass $f$ \definitionswort {konkav}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Subgraph}{}{}
\mathl{S(f)}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}
Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe
Aufgabe 20.1.
Die Verbindungsstrecke zwischen
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
ist durch
\mathbed {f(a) + s { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } }} {}
{s \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,}
bzw. als Ausschnitt
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
des Graphen zur linearen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ =} { f(b) { \frac{ x-a }{ b-a } } + f(a) { \frac{ x-b }{ a-b } }
}
{ =} { { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x + { \frac{ -af(b) +bf(a) }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Intervall und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann eine konvexe
\zusatzklammer {konkave} {} {}
Funktion, wenn die Ableitung $f'$ wachsend
\zusatzklammer {fallend} {} {}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $I$ gegeben. Es sei
\maabb {g} {[a,b] } { \R
} {}
die lineare Funktion, die
\mathl{(a,f(a))}{} und
\mathl{(b,f(b))}{} verbindet. Aufgrund der Konvexität ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq }{ g(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die Differenzenquotienten gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f(x)-f(a) }{ x-a } }
}
{ \leq} { { \frac{ g(x)-f(a) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ g(x)-g(a) }{ x-a } }
}
{ =} { { \frac{ g(b)-g(a) }{ b-a } }
}
{ =} { { \frac{ g(b)-g(x) }{ b-x } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ f(b)-g(x) }{ b-x } }
}
{ \leq} { { \frac{ f(b)-f(x) }{ b-x } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Durch Übergang zu den Limiten für
\mathl{x \rightarrow a}{} bzw.
\mathl{x \rightarrow b}{} folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ \leq} { { \frac{ g(b)-g(a) }{ b-a } }
}
{ \leq} { f'(b)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(c)
}
{ < }{ f(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu
\mathl{f-g}{} können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ = }{ f(b)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Nach dem
Mittelwertsatz
gibt es Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ [a,c]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ [c,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(s)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t)
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass $f'$ nicht wachsend ist.}
{}
{Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime}(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.8. }
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Jensensche Ungleichung} {.}
{Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {konvexe Funktion}{}{,}
seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1 , \ldots , t_n
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n t_i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) }
}
{ \leq} { \sum_{i=1}^n t_i f (x_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.58. }
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schema einer Skisprungschanze.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der sogenannte K-Punkt einer Skisprungschanze ist der Wendepunkt des Landungshügels.} }
\bildlizenz { Schema einer Skisprungschanze.svg } {} {Stefan-Xp} {Commons} {CC.by.sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein innerer Punkt von $I$. Man sagt, dass in $c$ ein
\definitionswort {Wendepunkt}{}
von $f$ vorliegt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $f$ auf
\mathl{[c-\epsilon,c]}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
\zusatzklammer {konkav} {} {}
und auf
\mathl{[c,c+\epsilon]}{}
\definitionsverweis {konkav}{}{}
\zusatzklammer {konvex} {} {} ist.
}
Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach
Korollar 20.6
genau dann ein Wendepunkt in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ \leq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [c - \epsilon, c]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [c, c + \epsilon ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {.}
Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} (c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor. Da eine lineare Funktion sowohl konvex als auch konkav ist, liegt in ihr überall ein Wendepunkt vor. Mit den Begriffen \stichwort {streng konvex} {,} \stichwort {streng konkav} {} und \stichwort {strenger Wendepunkt} {} kann man lineare Funktionen ausschließen, siehe
Aufgabe 20.12.
\zwischenueberschrift{Ableitung von Potenzreihen}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g}
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n (z-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { \tilde{ g}(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathbed {s \in \R_+} {}
{s<R} {}
{} {} {} {,}
vorgegeben und sei
\mathbed {r} {mit}
{s<r<R} {}
{} {} {} {.}
Dann konvergiert
\mathl{\sum_{n=0}^\infty \betrag { a_n } r^n}{} gemäß der Definition von Konvergenzradius. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{ { \left( \frac{r}{s} \right) }^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ hinreichend groß ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ n = 1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1}
}
{ =} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \sum_{ n = N+1}^\infty n \betrag { a_n } s^{n-1}
}
{ \leq} { \sum_{ n = 1}^N n \betrag { a_n } s^{n-1} + \frac{1}{s}\sum_{ n = N+1}^\infty \betrag { a_n } r^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
so dass die Potenzreihe $\tilde{g}$ in
\mathl{B \left( a,s \right)}{} und somit in
\mathl{U { \left( a,R \right) }}{} konvergiert \zusatzklammer {dafür, dass der Konvergenzradius von $\tilde{g}$ nicht größer als $R$ ist, siehe
Aufgabe 20.24} {} {.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (z)
}
{ =} { \sum_{n = 2}^\infty a_n (z-a)^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach
Korollar 16.9
stetige Funktion dar und besitzt in $a$ den Wert $0$. Daher zeigt die Gleichung
\zusatzklammer {von Potenzreihen und dargestellten Funktionen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { f(a) + a_1 (z-a) + \rho (z) (z-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $f$ in $a$ linear approximierbar, also nach
Satz 18.5
differenzierbar ist mit der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ =} { a_1
}
{ =} { \tilde{g} (a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{U { \left( a,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Entwicklungssatz
gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(z)
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty b_n (z-b)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deren dargestellte Funktion mit der durch $g$ dargestellten Funktion in einer offenen Umgebung von $b$ übereinstimmt, und wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ = }{ \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Daher gilt nach dem schon Bewiesenen
\zusatzklammer {angewendet auf $h$ und die formale Potenzreihenableitung $\tilde{h}$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(b)
}
{ =} { \tilde{h}(b)
}
{ =} { b_1
}
{ =} { \sum_{n = 1}^\infty na_n(b-a)^{n-1}
}
{ =} { \tilde{g}(b)
}
}
{}{}{.}}
{}
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion}
\faktfolgerung {ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich direkt aus Satz 20.9.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( z )
}
{ =} { \exp z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von Satz 20.9 ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \!'( z)
}
{ =} { { \left( \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty { \left( \frac{ z^n}{n !} \right) }'
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{n }{n !} z^{n-1}
}
{ =} { \sum_{n = 1 }^\infty \frac{1 }{(n-1) !} z^{n-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ n =0}^\infty \frac{ z^{ n } }{n!}
}
{ =} { \exp z
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
{Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
des
\definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{}
\maabbeledisp {\ln} {\R_+} {\R
} {x} { \ln x
} {,}}
\faktfolgerung {ist
\maabbeledisp {\ln \!'} {\R_+} {\R
} {x} { \frac{1}{x}
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.29. }
\inputfaktbeweis
{Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+
} {x} {x^\alpha
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
und ihre
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Aufgabe 17.1
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha
}
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 20.11,
Korollar 20.12
und
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x^\alpha)'
}
{ =} { ( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) )'
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right)
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
\definitionsverweis {eulersche Zahl}{}{}
gilt die Gleichheit}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}
}
{ =} { \exp 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von
Korollar 20.12
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ln \!'( 1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet aufgrund der Definition des
\definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{}
insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln (1+\frac{1}{n}) }{\frac{1}{n} }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als
\mathl{n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) }}{} und wenden darauf die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der
Stetigkeit
und der
Funktionalgleichung
der Exponentialfunktion die Gleichungskette
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp 1
}
{ =} { \exp \left( \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right) } \right)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \exp \left( n \cdot \ln { \left( 1+\frac{1}{n} \right) } \right)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n
}
{ =} { e
}
}
{}
{}{.}
{Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \!'( z)
}
{ =} { \cos z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \cos z
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \!'( z )
}
{ =} { - \sin z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.40. }
{Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { a^x
} {,}
zur Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^x \right) }'
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 20.47. }