Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 0 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 11 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 63 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {geodätische Kurve} {}
auf einer differenzierbaren Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Rotationsmenge} {}
\zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R \times \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Tangentialabbildung} {} \maabbdisp {T (\varphi)} {TM} {TN } {} zu einer \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {.}
}{Ein \stichwort {orientierungstreuer} {} Kartenwechsel auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$.
}{Die \stichwort {zurückgezogene Differentialform} {} $\varphi^* \omega$ zu einer Differentialform
\mathl{\omega \in
{ \mathcal E }^{ k } ( M )}{} bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung
\maabb {\varphi} {L} {M
} {}
zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Ein \stichwort {metrischer} {} linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\zusatzklammer {als Abbildung nach $\R^n$} {} {}
zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {I} {Y
} {}
heißt
geodätische Kurve
auf $Y$, wenn ihre
\definitionsverweis {tangentiale Beschleunigung}{}{}
überall gleich $0$ ist.
}{Die Rotationsmenge zu $T$ ist
\mathdisp {{ \left\{ (x, y \cos \alpha, y \sin \alpha ) \in \R^3 \mid (x,y) \in T , \, \alpha \in [0, 2 \pi] \right\} }} { . }
}{Unter der Tangentialabbildung
\maabbdisp {T (\varphi)} {TM} {TN
} {}
versteht man die disjunkte Vereinigung der
\definitionsverweis {Tangentialabbildungen}{}{}
in den einzelnen Punkten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T (\varphi)
}
{ =} { \biguplus_{P \in M} T_P(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es seien
\maabbdisp {\alpha_1} {U_1} {V_1
} {}
und
\maabbdisp {\alpha_2} {U_2} {V_2
} {}
orientierte Karten von $M$. Der zugehörige
\definitionsverweis {Kartenwechsel}{}{}
\maabbdisp {\psi=\alpha_2 \circ \alpha_1^{-1}} {V_1 \cap \alpha_1 (U_1 \cap U_2)} {V_2 \cap \alpha_2 (U_1 \cap U_2 )
} {}
heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt
\mathl{Q \in V_1 \cap \alpha_1 (U_1 \cap U_2)}{} das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\maabbdisp {\left(D\psi\right)_{Q}} {\R^n} {\R^n
} {}
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist.
}{Die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} ist für
\mathl{P\in L}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_k \in T_PL}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi^* \omega )(P,v_1 , \ldots , v_k )
}
{ \defeq} {\omega(\varphi(P), T_P\varphi(v_1) , \ldots , T_P\varphi(v_k) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Der Zusammenhang heißt
metrisch,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_V \left\langle W , Z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \nabla_V W , Z \right\rangle + \left\langle W , \nabla_VZ \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
für beliebige Vektorfelder $V,W ,Z$ gilt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.}{Der Satz über die Partition der Eins.}
}
{
\aufzaehlungdrei{\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei $F$ ein differenzierbares
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$}
\faktvoraussetzung {mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Vektor $F(P)$ zum
\definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{}
in $P$ an $Y$ gehört.}
\faktfolgerung {Dann verläuft die Lösung $v(t)$ zum
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
zu $F$ mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v(t_0)
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz in $Y$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}{Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
und $\omega$ die
\definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {orientierte Karte}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq} {\R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
offen mit Koordinaten
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} mit der
\definitionsverweis {metrischen Fundamentalmatrix}{}{}
\mathl{G=(g_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}}{} und
\mathl{g= \det G}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha_* \omega
}
{ =} { \sqrt{ g} dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\int_{ T } \omega
}
{ =} {
\int_{ \alpha(T) } \sqrt{g} dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n
}
{ =} { \int_{ \alpha(T) } \sqrt{g} \, d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{}
der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+2z^2
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 \right)
}
{ \in} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Diagonalmatrix für die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$.
}
{
Das normierte Gradientenfeld ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N(x,y,z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4x^2+4y^2+16 z^2} } } \begin{pmatrix} 2x \\2y\\ 4z \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2+y^2+4 z^2} } } \begin{pmatrix} x \\y\\ 2z \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(x,y,z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4+2 z^2} } } \begin{pmatrix} x \\y\\ 2z \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was auf $Y$ mit $N$ übereinstimmt. Das totale Differential von $M$ ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{4+2z^2} } } & 0 & { \frac{ -2 xz }{ { \left( 4+2z^2 \right) }^{3/2} } } \\ 0 & { \frac{ 1 }{ \sqrt{4+2z^2} } } & { \frac{ -2 yz }{ { \left( 4+2z^2 \right) }^{3/2} } } \\ 0 & 0 & { \frac{ 8 }{ { \left( 4+2z^2 \right) }^{3/2} } } \end{pmatrix}} { . }
Im angegebenen Punkt $P$ ist der Gradient $\begin{pmatrix} 2 \\2\\ 4 \end{pmatrix}$ und die beiden Vektoren
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 2 \\0\\ -1 \end{pmatrix}} {}
ist eine Basis des Tangetialraumes $T_PY$. Das totale Differential zu $M$ ist in diesem Punkt gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & 0 & { \frac{ -1 }{ 3 \sqrt{6} } } \\ 0 & { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & { \frac{ -1 }{ 3 \sqrt{6} } } \\ 0 & 0 & { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \end{pmatrix}} { . }
Angewendet auf den ersten Basisvektor $\begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}$ ergibt sich $\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } \\- { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } }\\ 0 \end{pmatrix}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } }$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor $\begin{pmatrix} 2 \\0\\ -1 \end{pmatrix}$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ 7 }{ 3 \sqrt{6} } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{6 } }} \\ - { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \end{pmatrix}
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{6 } }} \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} + { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \begin{pmatrix} 2 \\0\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist der andere Eigenwert gleich ${ \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } }$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & 0 \\ 0 & { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Zum Nachweis der Linearität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
and
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Es seien
\mathkor {} {F} {bzw.} {G} {}
die gemäß
Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(a)
}
{ = }{ v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(a)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 6.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
ist
\mathl{rF+sG}{} ein paralleles Vektorfeld mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (rF+sG)(a)
}
{ = }{ v+ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Eindeutigkeit aus
Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
ist somit
\mathl{rF+sG}{} das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor
\mathl{rv+sw}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_{\gamma} (rv+sw)
}
{ =} { (rF+sG)(b)
}
{ =} { r F(b) +s G(b)
}
{ =} { r \Psi_{\gamma} (v) + s \Psi_{\gamma} (w)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle F(t) , G(t) \right\rangle'
}
{ =} { \left\langle F'(t) , G(t) \right\rangle + \left\langle F(t) , G'(t) \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist
\mathl{\left\langle F(t) , G(t) \right\rangle}{} konstant längs des Weges. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \Psi_\gamma(v) , \Psi_\gamma(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle F(b) , G(b) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle F(a) , F(a) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bijektivität ist damit auch klar.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $M$ eine kompakte topologische $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine stetige surjektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U} {M
} {}
gibt.
}
{
Zu jedem Punkt
\mathl{P \in M}{} wählen wir eine offene Kartenumgebung
\mathl{P \in U_P}{} mit einer Karte
\maabbdisp {\alpha_P} {U_P} {V_P
} {}
mit
\mathl{V_P \subseteq \R^d}{.} Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von
\mathl{\alpha_P(P) \in V_P}{} und dessen Urbild übergehen, dass die $V_p$ offene Bälle sind, deren Radius maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{} ist. Die
\mathbed {U_P} {}
{P\in M} {}
{} {} {} {,}
überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von $M$ gibt es endlich viele Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} derart, dass auch
\mathbed {U_i=U_{P_i}} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle
\mathl{V_i=V_{P_i}}{} in
\zusatzklammer {\anfuehrung{einem neuen}{}} {} {}
$\R^d$, und zwar mit den Mittelpunkten
\mathdisp {(1,0 , \ldots , 0), (2,0 , \ldots , 0) , \ldots , (n,0 , \ldots , 0)} { . }
Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge
\mathl{U= \bigcup_{i=1}^n V_i}{.} Die Kartenabbildungen $\alpha_i$ liefern stetige Abbildungen
\mathdisp {\varphi_i :V_i \stackrel{ { \left( \alpha_i \right) }^{-1} }{\longrightarrow} U_i \longrightarrow M} { . }
Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch
\mathl{\varphi(z)= \varphi_i(z)}{,} falls
\mathl{z \in V_i}{} ist, eine stetige Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U} {M
} {.}
Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{11 (1+3+1+2+4)}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { { \left\{ A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid A \text{ ist nilpotent} \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der reellen nilpotenten
$2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
sowie die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { N \setminus \{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Ist $N$ zusammenhängend?
b) Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
c) Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $M$.
d) Ist $M$ zusammenhängend?
e) Überdecke
\mathl{M}{} mit expliziten topologischen Karten.
}
{
a) Jede nilpotente Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} lässt sich durch den linearen Weg
\maabbeledisp {} {[0,1]} {N
} {t} {t \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
} {,}
innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist $N$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.
b) Eine
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante $0$ sind. Die Menge $N$ der nilpotenten Matrizen kann also als
\mathdisp {{ \left\{ (a,b,c,d) \mid a+d = 0 \text{ und } ad-bc = 0 \right\} }} { }
aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^4} {\R^2
} {(a,b,c,d)} { (a+d, ad-bc)
} {.}
Deren Jacobi-Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ d & -c & -b & a \end{pmatrix}} { . }
Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht
\definitionsverweis {regulär}{}{,}
aber in jedem anderen Punkt der Faser $N$. Wenn nämlich
\mathl{P \in M}{} ist, so folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2
}
{ =} {bc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {b
}
{ =} {c
}
{ =} {d
}
{ =} {0
}
}
{}{}{.}
Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus $M$ den maximalen Rang. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {\R^4 \setminus \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man $M$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist $M$ nach
Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $G$.
c) Nach
Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
ist die Dimension von $M$ gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4-2
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
d) Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_+
}
{ =} { { \left\{ (a,b,c,d) \in M \mid b>c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_-
}
{ =} { { \left\{ (a,b,c,d) \in M \mid b<c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
beides sind
\zusatzklammer {als Durchschnitt von $M$ mit der durch
\mathl{b>c}{} gegebenen offenen Menge des $\R^4$} {} {}
offene Mengen in $M$. Die Matrizen
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} {}
zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz $M$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt nämlich wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {ad-bc
}
{ =} { -a^2 -b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{c
}
{ = }{d
}
{ = }{0
}
}
{}{}{,}
und der Punkt gehört nicht zu $M$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist $M$ nicht zusammenhängend.
e) Wir arbeiten mit der Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} { M_+
} {(a,u)} { (a, u + \sqrt{a^2+u^2}, u - \sqrt{a^2 +u^2},-a)
} {.}
Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ad-bc
}
{ =} {-a^2 - { \left( u + \sqrt{a^2+u^2} \right) } { \left( u - \sqrt{a^2+u^2} \right) }
}
{ =} {-a^2 - { \left( u^2 - { \left( a^2+u^2 \right) } \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b-c
}
{ =} { u + \sqrt{a^2+u^2} - { \left( u- \sqrt{a^2 +u^2}) \right) }
}
{ =} { 2 \sqrt{a^2+u^2}
}
{ >} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört das Bild zu $M_+$. Die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {M_+} { \R^2 \setminus \{(0,0)\}
} {(a,b,c,d)} { \left( a , \, { \frac{ b+c }{ 2 } } \right)
} {,}
ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ \R^2 \setminus \{(0,0)\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
klar. Die andere Identität ergibt sich aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ b+c }{ 2 } } + \sqrt{a^2 + { \left( { \frac{ b+c }{ 2 } } \right) }^2 }
}
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{4 a^2 + b^2 +c^2 +2bc }
}
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ b^2 +c^2 -2bc }
}
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } + { \frac{ b-c }{ 2 } }
}
{ =} {b
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ b+c }{ 2 } } - \sqrt{a^2 + { \left( { \frac{ b+c }{ 2 } } \right) }^2 }
}
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } - { \frac{ b-c }{ 2 } }
}
{ =} {c
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
vor.
Für
\mathl{M_-}{} vertauscht man die Rollen von
\mathkor {} {b} {und} {c} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.
}
{Möbiusband/Offene Frage/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {(x,y,z)} {(xyz^2,xy-z^3)
} {.}
Berechne die Matrix der Abbildung
\maabbdisp {\bigwedge^2 T_P (\varphi)} { \bigwedge^2 T_P \R^3 } { \bigwedge^2 T_{\varphi(P)} \R^2
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,3,5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich einer geeigneten Basis.
}
{
Die Jacobimatrix von $\varphi$ ist allgemein
\mathdisp {\begin{pmatrix} yz^2 & xz^2 & 2xyz \\ y & x & -3z^2 \end{pmatrix}} { . }
Für den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,3,5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt daher die Jacobimatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 75 & 25 & 30 \\ 3 & 1 & -75 \end{pmatrix}} { }
vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung
\maabbdisp {L} {T_P\R^3 \cong \R^3} { T_{\varphi(P)} \R^2 \cong \R^2
} {}
bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung
\maabbdisp {\bigwedge^2 L} {\bigwedge^2 \R^3 } { \bigwedge^2 \R^2
} {}
bezüglich der Basen
$e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3$ , $e_2 \wedge e_3$
\zusatzklammer {links} {} {}
und
\mathl{e_1 \wedge e_2}{}
\zusatzklammer {rechts} {} {.}
Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\bigwedge^2 L ) (e_1 \wedge e_2)
}
{ =} { L(e_1) \wedge L(e_2)
}
{ =} { (75e_1 + 3e_2) \wedge ( 25 e_1 + 1 e_2 )
}
{ =} { 75 e_1 \wedge e_2 + 75 e_2 \wedge e_1
}
{ =} { 75 e_1 \wedge e_2 - 75 e_1 \wedge e_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\bigwedge^2 L ) (e_1 \wedge e_3)
}
{ =} { L(e_1) \wedge L(e_3)
}
{ =} { (75e_1 + 3e_2) \wedge ( 30 e_1 - 75 e_2 )
}
{ =} { - 75^2 e_1 \wedge e_2 + 90 e_2 \wedge e_1
}
{ =} { (-5625 - 90) e_1 \wedge e_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -5715 e_1 \wedge e_2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\bigwedge^2 L ) (e_2 \wedge e_3)
}
{ =} { L(e_2) \wedge L(e_3)
}
{ =} { ( 25 e_1 + 1 e_2 ) \wedge ( 30 e_1 - 75 e_2)
}
{ =} { - 1875 e_1 \wedge e_2 + 30 e_2 \wedge e_1
}
{ =} { - 1905 e_1 \wedge e_2
}
}
{}
{}{.}
Die beschreibende Matrix ist also
\mathdisp {\left( 0,-5715,-1905 \right)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\psi} {W} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {f} {U} {\R
} {}
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der
Kettenregel,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f)
}
{ =} { \psi^*(df)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei $\psi^*$ das
\definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{}
bezeichnet.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( \psi^* f) (P,v)
}
{ =} { D_P( f \circ \psi) (v)
}
{ =} { { \left( { \left( D_{\psi(P)} f \right) } \circ { \left( D_P \psi \right) } \right) } (v)
}
{ =} {D_{\psi(P)} (f) { \left( D_P \psi(v) \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \psi^*(df) \right) } (P,v)
}
{ =} { (df) { \left( \psi(P), (D_P \psi )(v) \right) }
}
{ =} { D_{\psi(P)} (f) { \left( D_P \psi (v) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{}
und sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {positive Volumenform}{}{}
auf $M$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
mit der Mannigfaltigkeit $L$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_S \varphi^* \omega
}
{ =} { \int_{ \varphi(S)} \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach
Lemma 15.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
können wir davon ausgehen, dass
\mathkor {} {S} {und} {\varphi(S)} {}
jeweils ganz in einer Karte von
\mathkor {} {L} {bzw. von} {M} {}
liegen, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Karte
\maabbdisp {\alpha} {U} {U' \subseteq \R^n
} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(S)
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Karte
\maabbdisp {\beta} {V} {V' \subseteq \R^n
} {.}
Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass
\mathkor {} {U} {und} {V} {}
über $\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen
\mathdisp {\begin{matrix} U & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & V & \\ \!\!\!\!\! \alpha \downarrow & & \downarrow \beta \!\!\!\!\! & \\ U' & \stackrel{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }{\longrightarrow} & V' & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, das ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} S & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & \varphi (S) & \\ \!\!\!\!\! \alpha \downarrow & & \downarrow \beta \!\!\!\!\! & \\ \alpha (S) & \stackrel{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }{\longrightarrow} & \beta ( \varphi (S) ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform $\omega$ auf $V$ gilt dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha^{ {-1}*} ( \varphi^* \omega)
}
{ =} { { \left( \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} \right) }^* ( \beta^{ {-1}*} \omega)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
nach
Lemma 14.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) (4).
Die Volumenform $\beta^{ {-1}*} \omega$ besitzt auf $V'$ die Beschreibung
\mathl{g dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_n}{} mit einer messbaren Funktion
\maabb {g} {V'} {\R
} {}
und $\int_{\varphi(S)} \omega$ ist nach Definition gleich $\int_{\beta( \varphi(S))} g d \lambda^n$. Ebenso besitzt
\mathl{\alpha^{ {-1}*} ( \varphi^* \omega)}{} auf $U'$ eine Beschreibung der Form
\mathl{f dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n}{.} Diese Volumenform auf $U'$ stimmt mit dem Rückzug von
\mathl{g dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_n}{} überein und dieser ist nach
Korollar 14.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
gleich
\mathdisp {(g \circ \psi) \cdot \det { \left( { \left( { \frac{ \partial \psi_i }{ \partial x_j } } \right) }_{1 \leq i, j \leq n} \right) } dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n} { }
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \psi
}
{ = }{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Somit folgt die Aussage aus
[[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt|Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/3/Klausur mit Lösungen/latex (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))]].
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {trivialen Vektorbündel}{}{}
\maabbdisp {p} {\R^2 \times \R} { \R^2
} {}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$ über $\R^2$ den
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{,}
der durch die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 (x,y)
}
{ = }{ x^5-x^2y^2+3y^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 (x,y)
}
{ = }{ 7x^3 +xy^2-4y^5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Berechne den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) }$.
}
{
Nach
Fakt *****
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) }
}
{ =} { \partial_1 \Gamma_2 - \partial_2 \Gamma_1
}
{ =} { \partial_1 { \left( 7x^3 +xy^2-4y^5 \right) } - \partial_2 { \left( x^5-x^2y^2+3y^4 \right) }
}
{ =} { 21x^2 +y^2 - 5x^4 -2xy^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.
}
{
Der Rand
\mathl{\partial M}{} ist nach
Satz 21.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
eine
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
\zusatzklammer {ohne Rand} {} {.}
Daher gibt es nach
Satz 22.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {positive Volumenform}{}{}
$\tau$ auf
\mathl{\partial M}{.} Es ist
\mathl{\int_{ \partial M } \tau >0}{.} Die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
der Volumenform $\tau$ ist $0$. Nehmen wir an, dass es eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {\partial M
} {}
mit
\mathl{\varphi {{|}}_{\partial M} = \operatorname{Id}_{\partial M}}{} gebe. Dann ist die
\definitionsverweis {zurückgezogene Form}{}{}
\mathl{\varphi^* \tau}{} eine
$(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $M$, deren Einschränkung auf den Rand mit $\tau$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von
Satz 23.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))
und
Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) (5)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{
\int_{ \partial M } \tau
}
{ =} {
\int_{ \partial M } \varphi^* \tau
}
{ =} {
\int_{ M } d(\varphi^* \tau)
}
{ =} {
\int_{ M } \varphi^* (d\tau)
}
{ =} {
\int_{ M } \varphi^* (0)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies ist ein Widerspruch.
}