Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 0 }

\renewcommand{\avier}{ 0 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 6 }

\renewcommand{\asieben}{ 0 }

\renewcommand{\aacht}{ 6 }

\renewcommand{\aneun}{ 11 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 7 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 63 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {geodätische Kurve} {} auf einer differenzierbaren Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Rotationsmenge} {} \zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {} zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R \times \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Tangentialabbildung} {} \maabbdisp {T (\varphi)} {TM} {TN } {} zu einer \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {M} {und} {N} {.}

}{Ein \stichwort {orientierungstreuer} {} Kartenwechsel auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$.

}{Die \stichwort {zurückgezogene Differentialform} {} $\varphi^* \omega$ zu einer Differentialform
\mathl{\omega \in { \mathcal E }^{ k } ( M )}{} bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung \maabb {\varphi} {L} {M } {} zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten \mathkor {} {L} {und} {M} {.}

}{Ein \stichwort {metrischer} {} linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Eine \zusatzklammer {als Abbildung nach $\R^n$} {} {} zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\gamma} {I} {Y } {} heißt geodätische Kurve auf $Y$, wenn ihre \definitionsverweis {tangentiale Beschleunigung}{}{} überall gleich $0$ ist. }{Die Rotationsmenge zu $T$ ist
\mathdisp {{ \left\{ (x, y \cos \alpha, y \sin \alpha ) \in \R^3 \mid (x,y) \in T , \, \alpha \in [0, 2 \pi] \right\} }} { . }
}{Unter der Tangentialabbildung \maabbdisp {T (\varphi)} {TM} {TN } {} versteht man die disjunkte Vereinigung der \definitionsverweis {Tangentialabbildungen}{}{} in den einzelnen Punkten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T (\varphi) }
{ =} { \biguplus_{P \in M} T_P(\varphi) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es seien \maabbdisp {\alpha_1} {U_1} {V_1 } {} und \maabbdisp {\alpha_2} {U_2} {V_2 } {} orientierte Karten von $M$. Der zugehörige \definitionsverweis {Kartenwechsel}{}{} \maabbdisp {\psi=\alpha_2 \circ \alpha_1^{-1}} {V_1 \cap \alpha_1 (U_1 \cap U_2)} {V_2 \cap \alpha_2 (U_1 \cap U_2 ) } {} heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt
\mathl{Q \in V_1 \cap \alpha_1 (U_1 \cap U_2)}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} \maabbdisp {\left(D\psi\right)_{Q}} {\R^n} {\R^n } {} \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist. }{Die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} ist für
\mathl{P\in L}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_k \in T_PL}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi^* \omega )(P,v_1 , \ldots , v_k ) }
{ \defeq} {\omega(\varphi(P), T_P\varphi(v_1) , \ldots , T_P\varphi(v_k) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_V \left\langle W , Z \right\rangle }
{ =} { \left\langle \nabla_V W , Z \right\rangle + \left\langle W , \nabla_VZ \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} für beliebige Vektorfelder $V,W ,Z$ gilt. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.}{Der Satz über die Partition der Eins.}

}
{

\aufzaehlungdrei{\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei $F$ ein differenzierbares \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$}
\faktvoraussetzung {mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Vektor $F(P)$ zum \definitionsverweis {Tangentialraum an die Faser}{}{} in $P$ an $Y$ gehört.}
\faktfolgerung {Dann verläuft die Lösung $v(t)$ zum \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{} zu $F$ mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v(t_0) }
{ \in }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ganz in $Y$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}{Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} und $\omega$ die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{.} Es sei \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {orientierte Karte}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq} {\R^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} offen mit Koordinaten
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} mit der \definitionsverweis {metrischen Fundamentalmatrix}{}{}
\mathl{G=(g_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}}{} und
\mathl{g= \det G}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha_* \omega }
{ =} { \sqrt{ g} dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } \omega }
{ =} { \int_{ \alpha(T) } \sqrt{g} dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n }
{ =} { \int_{ \alpha(T) } \sqrt{g} \, d \lambda^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{} der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Partition der Eins}{}{.}}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Bestimme für die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+2z^2 }
{ =} { 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Fläche $Y$ und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \left( 1 , \, 1 , \, 1 \right) }
{ \in} { Y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Diagonalmatrix für die \definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{} $L_P$.

}
{

Das normierte Gradientenfeld ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N(x,y,z) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4x^2+4y^2+16 z^2} } } \begin{pmatrix} 2x \\2y\\ 4z \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2+y^2+4 z^2} } } \begin{pmatrix} x \\y\\ 2z \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(x,y,z) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4+2 z^2} } } \begin{pmatrix} x \\y\\ 2z \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was auf $Y$ mit $N$ übereinstimmt. Das totale Differential von $M$ ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{4+2z^2} } } & 0 & { \frac{ -2 xz }{ { \left( 4+2z^2 \right) }^{3/2} } } \\ 0 & { \frac{ 1 }{ \sqrt{4+2z^2} } } & { \frac{ -2 yz }{ { \left( 4+2z^2 \right) }^{3/2} } } \\ 0 & 0 & { \frac{ 8 }{ { \left( 4+2z^2 \right) }^{3/2} } } \end{pmatrix}} { . }
Im angegebenen Punkt $P$ ist der Gradient $\begin{pmatrix} 2 \\2\\ 4 \end{pmatrix}$ und die beiden Vektoren \mathkor {} {\begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 2 \\0\\ -1 \end{pmatrix}} {} ist eine Basis des Tangetialraumes $T_PY$. Das totale Differential zu $M$ ist in diesem Punkt gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & 0 & { \frac{ -1 }{ 3 \sqrt{6} } } \\ 0 & { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & { \frac{ -1 }{ 3 \sqrt{6} } } \\ 0 & 0 & { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \end{pmatrix}} { . }
Angewendet auf den ersten Basisvektor $\begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}$ ergibt sich $\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } \\- { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } }\\ 0 \end{pmatrix}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } }$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor $\begin{pmatrix} 2 \\0\\ -1 \end{pmatrix}$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ 7 }{ 3 \sqrt{6} } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{6 } }} \\ - { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \end{pmatrix} }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 3 \sqrt{6 } }} \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix} + { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \begin{pmatrix} 2 \\0\\ -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist der andere Eigenwert gleich ${ \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } }$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt{6} } } & 0 \\ 0 & { \frac{ 4 }{ 3 \sqrt{6} } } \end{pmatrix}} { . }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Zum Nachweis der Linearität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} and
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Es seien \mathkor {} {F} {bzw.} {G} {} die gemäß Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs $\gamma$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(a) }
{ = }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(a) }
{ = }{ w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Lemma 6.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist
\mathl{rF+sG}{} ein paralleles Vektorfeld mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (rF+sG)(a) }
{ = }{ v+ w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der Eindeutigkeit aus Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist somit
\mathl{rF+sG}{} das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor
\mathl{rv+sw}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_{\gamma} (rv+sw) }
{ =} { (rF+sG)(b) }
{ =} { r F(b) +s G(b) }
{ =} { r \Psi_{\gamma} (v) + s \Psi_{\gamma} (w) }
{ } { }
} {}{}{.}

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{ T_PY }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben und es seien $F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle F(t) , G(t) \right\rangle' }
{ =} { \left\langle F'(t) , G(t) \right\rangle + \left\langle F(t) , G'(t) \right\rangle }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da $F,G$ tangential sind und $F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist
\mathl{\left\langle F(t) , G(t) \right\rangle}{} konstant längs des Weges. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \Psi_\gamma(v) , \Psi_\gamma(w) \right\rangle }
{ =} { \left\langle F(b) , G(b) \right\rangle }
{ =} { \left\langle F(a) , F(a) \right\rangle }
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bijektivität ist damit auch klar.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Es sei $M$ eine kompakte topologische $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine stetige surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {U} {M } {} gibt.

}
{

Zu jedem Punkt
\mathl{P \in M}{} wählen wir eine offene Kartenumgebung
\mathl{P \in U_P}{} mit einer Karte \maabbdisp {\alpha_P} {U_P} {V_P } {} mit
\mathl{V_P \subseteq \R^d}{.} Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von
\mathl{\alpha_P(P) \in V_P}{} und dessen Urbild übergehen, dass die $V_p$ offene Bälle sind, deren Radius maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{} ist. Die
\mathbed {U_P} {}
{P\in M} {}
{} {} {} {,} überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von $M$ gibt es endlich viele Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} derart, dass auch
\mathbed {U_i=U_{P_i}} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle
\mathl{V_i=V_{P_i}}{} in \zusatzklammer {\anfuehrung{einem neuen}{}} {} {} $\R^d$, und zwar mit den Mittelpunkten
\mathdisp {(1,0 , \ldots , 0), (2,0 , \ldots , 0) , \ldots , (n,0 , \ldots , 0)} { . }
Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge
\mathl{U= \bigcup_{i=1}^n V_i}{.} Die Kartenabbildungen $\alpha_i$ liefern stetige Abbildungen
\mathdisp {\varphi_i :V_i \stackrel{ { \left( \alpha_i \right) }^{-1} }{\longrightarrow} U_i \longrightarrow M} { . }
Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch
\mathl{\varphi(z)= \varphi_i(z)}{,} falls
\mathl{z \in V_i}{} ist, eine stetige Abbildung \maabbdisp {\varphi} {U} {M } {.} Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{11 (1+3+1+2+4)}
{

Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N }
{ =} { { \left\{ A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid A \text{ ist nilpotent} \right\} } }
{ \subseteq} {\R^4 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der reellen nilpotenten $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} sowie die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { N \setminus \{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Ist $N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} einer offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \R^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

c) Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $M$.

d) Ist $M$ zusammenhängend?

e) Überdecke
\mathl{M}{} mit expliziten topologischen Karten.

}
{

a) Jede nilpotente Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}{} lässt sich durch den linearen Weg \maabbeledisp {} {[0,1]} {N } {t} {t \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } {,} innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist $N$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante $0$ sind. Die Menge $N$ der nilpotenten Matrizen kann also als
\mathdisp {{ \left\{ (a,b,c,d) \mid a+d = 0 \text{ und } ad-bc = 0 \right\} }} { }
aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^2 } {(a,b,c,d)} { (a+d, ad-bc) } {.} Deren Jacobi-Matrix ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ d & -c & -b & a \end{pmatrix}} { . }
Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {regulär}{}{,} aber in jedem anderen Punkt der Faser $N$. Wenn nämlich
\mathl{P \in M}{} ist, so folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 }
{ =} {bc }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b }
{ =} {c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a }
{ =} {b }
{ =} {c }
{ =} {d }
{ =} {0 }
} {}{}{.} Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus $M$ den maximalen Rang. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {\R^4 \setminus \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} kann man $M$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist $M$ nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $G$.

c) Nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist die Dimension von $M$ gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4-2 }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

d) Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_+ }
{ =} { { \left\{ (a,b,c,d) \in M \mid b>c \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_- }
{ =} { { \left\{ (a,b,c,d) \in M \mid b<c \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} beides sind \zusatzklammer {als Durchschnitt von $M$ mit der durch
\mathl{b>c}{} gegebenen offenen Menge des $\R^4$} {} {} offene Mengen in $M$. Die Matrizen \mathkor {} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} {} zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz $M$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt nämlich wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {ad-bc }
{ =} { -a^2 -b^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ = }{c }
{ = }{d }
{ = }{0 }
} {}{}{,} und der Punkt gehört nicht zu $M$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist $M$ nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung \maabbeledisp {\psi} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} { M_+ } {(a,u)} { (a, u + \sqrt{a^2+u^2}, u - \sqrt{a^2 +u^2},-a) } {.} Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ad-bc }
{ =} {-a^2 - { \left( u + \sqrt{a^2+u^2} \right) } { \left( u - \sqrt{a^2+u^2} \right) } }
{ =} {-a^2 - { \left( u^2 - { \left( a^2+u^2 \right) } \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {} {}{} ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b-c }
{ =} { u + \sqrt{a^2+u^2} - { \left( u- \sqrt{a^2 +u^2}) \right) } }
{ =} { 2 \sqrt{a^2+u^2} }
{ >} {0 }
{ } { }
} {}{}{} gehört das Bild zu $M_+$. Die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {M_+} { \R^2 \setminus \{(0,0)\} } {(a,b,c,d)} { \left( a , \, { \frac{ b+c }{ 2 } } \right) } {,} ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi }
{ =} { \operatorname{Id}_{ \R^2 \setminus \{(0,0)\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} klar. Die andere Identität ergibt sich aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ b+c }{ 2 } } + \sqrt{a^2 + { \left( { \frac{ b+c }{ 2 } } \right) }^2 } }
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{4 a^2 + b^2 +c^2 +2bc } }
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{ b^2 +c^2 -2bc } }
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } + { \frac{ b-c }{ 2 } } }
{ =} {b }
} {} {}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ b+c }{ 2 } } - \sqrt{a^2 + { \left( { \frac{ b+c }{ 2 } } \right) }^2 } }
{ =} {{ \frac{ b+c }{ 2 } } - { \frac{ b-c }{ 2 } } }
{ =} {c }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} vor. Für
\mathl{M_-}{} vertauscht man die Rollen von \mathkor {} {b} {und} {c} {.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.

}
{Möbiusband/Offene Frage/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} {(xyz^2,xy-z^3) } {.} Berechne die Matrix der Abbildung \maabbdisp {\bigwedge^2 T_P (\varphi)} { \bigwedge^2 T_P \R^3 } { \bigwedge^2 T_{\varphi(P)} \R^2 } {} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (1,3,5) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich einer geeigneten Basis.

}
{

Die Jacobimatrix von $\varphi$ ist allgemein
\mathdisp {\begin{pmatrix} yz^2 & xz^2 & 2xyz \\ y & x & -3z^2 \end{pmatrix}} { . }
Für den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (1,3,5) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt daher die Jacobimatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 75 & 25 & 30 \\ 3 & 1 & -75 \end{pmatrix}} { }
vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung \maabbdisp {L} {T_P\R^3 \cong \R^3} { T_{\varphi(P)} \R^2 \cong \R^2 } {} bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung \maabbdisp {\bigwedge^2 L} {\bigwedge^2 \R^3 } { \bigwedge^2 \R^2 } {} bezüglich der Basen $e_1 \wedge e_2,\, e_1 \wedge e_3$ , $e_2 \wedge e_3$ \zusatzklammer {links} {} {} und
\mathl{e_1 \wedge e_2}{} \zusatzklammer {rechts} {} {.} Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\bigwedge^2 L ) (e_1 \wedge e_2) }
{ =} { L(e_1) \wedge L(e_2) }
{ =} { (75e_1 + 3e_2) \wedge ( 25 e_1 + 1 e_2 ) }
{ =} { 75 e_1 \wedge e_2 + 75 e_2 \wedge e_1 }
{ =} { 75 e_1 \wedge e_2 - 75 e_1 \wedge e_2 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\bigwedge^2 L ) (e_1 \wedge e_3) }
{ =} { L(e_1) \wedge L(e_3) }
{ =} { (75e_1 + 3e_2) \wedge ( 30 e_1 - 75 e_2 ) }
{ =} { - 75^2 e_1 \wedge e_2 + 90 e_2 \wedge e_1 }
{ =} { (-5625 - 90) e_1 \wedge e_2 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -5715 e_1 \wedge e_2 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{,} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\bigwedge^2 L ) (e_2 \wedge e_3) }
{ =} { L(e_2) \wedge L(e_3) }
{ =} { ( 25 e_1 + 1 e_2 ) \wedge ( 30 e_1 - 75 e_2) }
{ =} { - 1875 e_1 \wedge e_2 + 30 e_2 \wedge e_1 }
{ =} { - 1905 e_1 \wedge e_2 }
} {} {}{.} Die beschreibende Matrix ist also
\mathdisp {\left( 0,-5715,-1905 \right)} { . }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} und sei \maabbdisp {\psi} {W} {U } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {U} {\R } {} eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f) }
{ =} { \psi^*(df) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\psi^*$ das \definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{} bezeichnet.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( \psi^* f) (P,v) }
{ =} { D_P( f \circ \psi) (v) }
{ =} { { \left( { \left( D_{\psi(P)} f \right) } \circ { \left( D_P \psi \right) } \right) } (v) }
{ =} {D_{\psi(P)} (f) { \left( D_P \psi(v) \right) } }
{ } { }
} {}{}{.} Andererseits ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \psi^*(df) \right) } (P,v) }
{ =} { (df) { \left( \psi(P), (D_P \psi )(v) \right) } }
{ =} { D_{\psi(P)} (f) { \left( D_P \psi (v) \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und sei $\omega$ eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} mit der Mannigfaltigkeit $L$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_S \varphi^* \omega }
{ =} { \int_{ \varphi(S)} \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Nach Lemma 15.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass \mathkor {} {S} {und} {\varphi(S)} {} jeweils ganz in einer Karte von \mathkor {} {L} {bzw. von} {M} {} liegen, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Karte \maabbdisp {\alpha} {U} {U' \subseteq \R^n } {} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(S) }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Karte \maabbdisp {\beta} {V} {V' \subseteq \R^n } {.} Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass \mathkor {} {U} {und} {V} {} über $\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen
\mathdisp {\begin{matrix} U & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & V & \\ \!\!\!\!\! \alpha \downarrow & & \downarrow \beta \!\!\!\!\! & \\ U' & \stackrel{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }{\longrightarrow} & V' & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, das ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} S & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & \varphi (S) & \\ \!\!\!\!\! \alpha \downarrow & & \downarrow \beta \!\!\!\!\! & \\ \alpha (S) & \stackrel{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }{\longrightarrow} & \beta ( \varphi (S) ) & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform $\omega$ auf $V$ gilt dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha^{ {-1}*} ( \varphi^* \omega) }
{ =} { { \left( \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} \right) }^* ( \beta^{ {-1}*} \omega) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} nach Lemma 14.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (4). Die Volumenform $\beta^{ {-1}*} \omega$ besitzt auf $V'$ die Beschreibung
\mathl{g dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_n}{} mit einer messbaren Funktion \maabb {g} {V'} {\R } {} und $\int_{\varphi(S)} \omega$ ist nach Definition gleich $\int_{\beta( \varphi(S))} g d \lambda^n$. Ebenso besitzt
\mathl{\alpha^{ {-1}*} ( \varphi^* \omega)}{} auf $U'$ eine Beschreibung der Form
\mathl{f dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n}{.} Diese Volumenform auf $U'$ stimmt mit dem Rückzug von
\mathl{g dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_n}{} überein und dieser ist nach Korollar 14.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) gleich
\mathdisp {(g \circ \psi) \cdot \det { \left( { \left( { \frac{ \partial \psi_i }{ \partial x_j } } \right) }_{1 \leq i, j \leq n} \right) } dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n} { }
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \psi }
{ = }{ \beta \circ \varphi \circ \alpha^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Somit folgt die Aussage aus [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt|Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/3/Klausur mit Lösungen/latex (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))]].


}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Wir betrachten auf dem \definitionsverweis {trivialen Vektorbündel}{}{} \maabbdisp {p} {\R^2 \times \R} { \R^2 } {} vom \definitionsverweis {Rang}{}{} $1$ über $\R^2$ den \definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{,} der durch die \definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 (x,y) }
{ = }{ x^5-x^2y^2+3y^4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 (x,y) }
{ = }{ 7x^3 +xy^2-4y^5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sei. Berechne den \definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{} $R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) }$.

}
{

Nach Fakt ***** ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) } }
{ =} { \partial_1 \Gamma_2 - \partial_2 \Gamma_1 }
{ =} { \partial_1 { \left( 7x^3 +xy^2-4y^5 \right) } - \partial_2 { \left( x^5-x^2y^2+3y^4 \right) } }
{ =} { 21x^2 +y^2 - 5x^4 -2xy^2 }
{ } { }
} {} {}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{

}
{/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.

}
{

Der Rand
\mathl{\partial M}{} ist nach Satz 21.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {.} Daher gibt es nach Satz 22.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} $\tau$ auf
\mathl{\partial M}{.} Es ist
\mathl{\int_{ \partial M } \tau >0}{.} Die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der Volumenform $\tau$ ist $0$. Nehmen wir an, dass es eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {\partial M } {} mit
\mathl{\varphi {{|}}_{\partial M} = \operatorname{Id}_{\partial M}}{} gebe. Dann ist die \definitionsverweis {zurückgezogene Form}{}{}
\mathl{\varphi^* \tau}{} eine $(n-1)$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $M$, deren Einschränkung auf den Rand mit $\tau$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Satz 23.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ \partial M } \tau }
{ =} { \int_{ \partial M } \varphi^* \tau }
{ =} { \int_{ M } d(\varphi^* \tau) }
{ =} { \int_{ M } \varphi^* (d\tau) }
{ =} { \int_{ M } \varphi^* (0) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Dies ist ein Widerspruch.


}